رهیافتی به بعد چهارم

قطعاً پاسخ منفی است. امّا با دوران AB حول O در صفحه، می‌توان آن را بر منطبق کرد یعنی با رفتن به بعدی بالاتر. [ خط یک بعدی و صفحه دو بعدی است]
خط d و مربّع ABCD در صفحه مفروض‌اند. اگر نقاط  به ترتیب قرینه‌ی A,B,C,D نسبت به d باشند، آیا می‌توان ABCD را با حرکت دادن در صفحه بر منطبق کرد؟

قطعاً پاسخ منفی است. امّا با دوران ABCD حول d در فضا، می‌توان آن را بر منطبق کرد یعنی با رفتن به بعدی بالاتر [صفحه دو بعدی و فضا سه بعدی است]
اکنون فرض کنید روبه‌روی یک آینه‌ی قدّی ایستاده‌اید و به تصویر و فضای اطراف خود،در آن می‌نگرید. سؤال این است که آیا با حرکت در فضا می‌توانید بر تصویر آینه‌ای خود منطبق شوید؟
قطعاً پاسخ منفی است. پس طبق روال فوق باید به بعد بالاتر برویم، یعنی بعد چهارم! امّا فضای چهاربعدی چگونه است؟

معرّفی فضای چهاربعدی:
یک چهارتایی مرتب از اعداد حقیقی (x,y,z,t) یک نقطه از فضای چهاربعدی نامیده می‌شود. فضای چهاربعدی دارای چهار محور مختصات است:

در فضای چهاربعدی علاوه بر محور مختصات، صفحه ی مختصات نیز داریم؛ این‌ها صفحاتی هستند که از دو محور مختصات می‌گذرند.
فضای چهار بعدی دارای ۶ صفحه ی مختصات است:

به وضوح هر یک از این صفحات از دو محور مختصات می‌گذرند.
امّا کار به همین جا ختم نمی‌شود، در فضای چهاربعدی، مجموعه‌ای چون صفحه ی مختصات سه بعدی نیز داریم و آن عبارت است از مجموعه‌ی نقاطی که یک مختص آن‌ها صفر و سه مختص دیگر می‌توانند عددی دلخواه باشند. فضای چهاربعدی دارای چهارصفحه‌ی مختصات سه بعدی است:

به وضوح هر یک از این صفحات مختصات سه بعدی از سه محور مختصات می‌گذرند و محل تلاقی هر دو تای آن‌ها، یک صفحه‌ی مختصات است.
در این فضا، فاصله‌ی بین دو نقطه‌ی به صورت زیر تعریف می‌شود:

و منظور از یک شکل هندسی، یک مجموعه‌ از نقاط است.
اکنون پس از معرّفی فضای چهاربعدی، جهت درک بهتر آن، ساختار شکل هندسی ساده‌ای چون مکعب واحد چهاربعدی را بررسی می‌کنیم.
پیش از پرداختن به این موضوع، بد نیست ساختار مکعب واحد سه بعدی را یک بار مرور کنیم.
مکعب واحد سه بعدی عبارت است از .
رأس: رأس این مکعب عبارت است از نقاطی که مختص‌های آن‌ها ۰ یا ۱ هستند. مثلاً (۱،۰،۰) یک رأس این مکعب است. این مکعب دارای ۸ رأس است.
یال: یال این مکعب عبارت است از مجموعه ی نقاطی که دو مختص آن‌ها ۰ یا ۱ بوده و مختص دیگر بین ۰ و ۱ تغییر می‌کند.
مثلاً یک یال این مکعب است. این مکعب دارای ۱۲ یال است.
وجه: وجه این مکعب عبارت است از مجموعه ی نقاطی که یک مختص آن‌ها ۰ یا ۱ بوده و دو مختص دیگر بین ۰ و ۱ تغییر می‌کنند.
مثلاً یک وجه این مکعب است. این مکعب دارای ۶ وجه است. در شکل زیر چگونگی ساختن مکعب واحد سه بعدی با استفاده از مدل گسترده‌اش را ملاحظه می‌کنید:

اکنون به بررسی ساختار مکعب واحد چهاربعدی می‌پردازیم.
مکعب واحد چهاربعدی عبارت است از.
رأس: رأس این مکعب عبارت است از نقاطی که مختص‌های آن‌ها ۰ یا ۱ هستند. مثلاً (۱،۰،۰،۰) یک رأس این مکعب است. این مکعب دارای ۱۶ رأس است.
یال: یال این مکعب عبارت است از مجموعه‌ی نقاطی که سه مختص آ‌ن‌ها ۰ یا ۱ و مختص باقیمانده بین ۰ و ۱ تغییر می‌کند. مثلاً یک یال این مکعب است.
این مکعب ۳۲ یال دارد. [چرا؟]
وجه دو بعدی: وجه دو بعدی این مکعب عبارت است از مجموعه‌ی نقاطی که دو مختص آن‌ها ۰ یا ۱ و دو مختص دیگر بین ۰ و ۱ تغییر می‌کنند. مثلاً یک وجه دو بعدی این مکعب است.
این مکعب دارای ۲۴ وجه دو بعدی است. [چرا؟]
وجه سه بعدی مکعب: وجه سه بعدی مکعب عبارت است از مجموعه‌ی نقاطی که یک مختص ‌آن‌ها ۰ یا ۱ و سه مختص دیگر بین ۰ و ۱ تغییر می‌کنند.
مثلاً یک وجه سه بعدی این مکعب است. این مکعب ۸ وجه سه بعدی دارد.
در شکل‌های زیر مکعب واحد چهاربعدی و چگونگی ساختن ‌آن را با استفاده ازمدل گسترده‌اش ملاحظه می‌کنید:

سخن آخر این که یکی از کاربردهای مهم این فضا در معرفی فضای مینکوفسکی در نظریه ی مشهور نسبیت می باشد .