قضیه ی دایره ی مونژ

 دراین مقاله یکی از قضایای جالب هندسه ی مسطحه راباروشی کاملا"نامتعارف  اثبات می کنیم  و آن عبارت است از : قضیه ی دایره ی مونژ .

پیش از اثبات ، نیاز به معرفی چند مفهوم فیزیکی داریم !!!

نکته ۲ : برای سیستمی متشکل از دو دیسک به جرم های  با مرکز هائی به مختصات و ، مرکز جرم را با تعریف می کنیم که در آن :

  و . این تعریف نشان می دهد که مرکز جرم این سیستم بر خط واصل مرکزهای دو دیسک واقع است .

ب) جرم منفی : وقتی به جسمی نیرو وارد می کنیم ، طبق رابطه ی برداری:

  ، انتظار این است که جسم در صورت حرکت ، در جهت نیروی وارده حرکت کند . علت این انتظار، مثبت بودن کمیت جرم در رابطه ی فوق است . در این جا می خواهیم شما را با مفهوم جرم منفی آشنا کنیم که در فیزیک نوین کاربردهائی دارد. گوئیم جسمی دارای جرم منفی است هرگاه با اعمال نیرو بر جسم ، در صورت حرکت ، جسم در خلاف جهت نیروی وارده حرکت کند ، یعنی مثلا" ما جسم را هل می دهیم و جسم به طرف ما شتاب می گیرد . !!! جرم منفی را با نماد m-نشان می دهیم .

دایره ها را با c,b,a نام گذاری کرده و محل تلاقی مماس های خارجی b,a را با C و  c,a را با B و c,b را با A نشان می دهیم .هریک از دایره های c,b,a را به عنوان یک دیسک به ترتیب با جرم های که قدر مطلق این جرم ها با شعاع دیسک ها نسبت عکس دارند ، در نظر می گیریم .

لم : دو دیسک در صفحه به شعاع های R , r با  r<R در نظر بگیرید .

۱) اگر دو دیسک دارای جرم مثبت باشند که جرم ها با شعاع ها نسبت عکس دارند ، آن گاه مرکز جرم سیستم متشکل از آن ها بر محل تقاطع مماس های مشترک داخلی آن ها واقع است .

اثبات لم :  مبدا محور مختصات را بر O و محور x ها را بر در نظر می گیریم .

۱) 

اگر مرکز جرم S (سیستم متشکل از دو دیسک) باشد آن گاه با استفاده از (*) خواهیم داشت :

۲) اگر مرکز جرم S (سیستم متشکل از دو دیسک) باشد آن گاه با استفاده از (*) خواهیم داشت (در این حالت نیز برقراراست ) :

اکنون ۳ سیستم به صورت زیر در نظر می گیریم : 

و و .

اگربا استفاده از دو سیستم و سیستمی تشکیل دهیم که جرم های :

   بر یکدیگر واقع شوند ، آن گاه سیستم حاصل عبارت است از : . پس طبق نکته ۳ و قسمت ۲) لم فوق ، مرکز جرم سیستم که همانا نقطه ی B می باشد با مرکز جرم های و که همانا A,C هستند ، بر یک امتداد واقع می شوند . و به این ترتیب اثبات قضیه به پایان می رسد .

منابع :