مساله کار و کارگر

یکی از مشکلاتی که نوعاً دانش‌آموزان با آن مواجه هستند، حلّ مسأله‌های مربوط به تناسب است به طوری که گاهی تغییری در صورت مسأله ممکن است حلّ آن را برای دانش‌آموز غیرممکن سازد.
در این جا با طرح مسأله‌های کار و کارگر سعی داریم تا این مشکل را برطرف سازیم.
مسأله‌ی اوّل: M کارگر کاری را در D روز انجام می‌دهند. اگر پس از گذشت d روز m کارگر (m < M , d < D) قادر به ادامه‌ی کار نباشند. کار چند روزه تمام خواهد شد؟[فرض بر این است که تمام کارگر‌ها در هر روز به طور مساوی کار می‌کنند و خروج تعدادی از کارگران از کار، تأثیری بر میزان کار بقیه ی کارگران نمی‌گذارد.]
حلّ: اگر میزان کلّ کار را ۱ واحد بگیریم، پس هر کارگر به میزان مساله ی کار و کارگر واحد کار در روز بایستی انجام دهد. میزان کاری که M کارگر در d روز انجام می‌دهند برابر است با:.

اگر پس از خروج m کارگر از کار، ادامه‌ی کار  روز طول بکشد آن‌گاه میزان کاری که M-m کارگر درروز انجام می‌دهند برابر است با:.
چون کلّ کار ۱ واحد است، لذا خواهیم داشت:

 

و لذا خواهیم داشت: . اگر فرض کنیم پس از خروج m کارگر، کار در روز به اتمام خواهد رسید آن‌گاه: .
مثال: ۲۱ کارگر کاری را در ۱۲ روز تمام می‌کنند، اگر پس از گذشت ۶ روز، ۳ کارگر بیمار شوند، کار چند روزه تمام خواهد شد؟ حلّ: ۲۱=M و ۱۲=D و ۶=d و ۳=m . بنابراین:.

مسأله‌ی دوّم: اگر در مسأله‌ی اوّل به جای عبارت: "پس از گذشت d روز" عبارت: "پس از انجام  کار (۱ < K)" را بیاوریم؛ مسأله چگونه حلّ می‌شود؟
حلّ: اگر پس از خروج m کارگر از کار، ادامه‌ی کار روز طول بکشد آن‌گاه میزان کاری که M-m کارگر در روز انجام می‌دهند برابر است با: و چون کار پیش از خروج m کارگر انجام شده است لذا داریم:.

اگر فرض کنیم پس از خروج m کارگر، کار در  روز به اتمام خواهد رسید آن‌گاه:

 

که در آن  زمان لازم برای انجام واحد کار است.
مثال: ۱۰ کارگر کاری را در ۳۰ روز انجام می‌دهند. اگر پس از انجام ثلث کار، ۵ کارگر بیمار شوند، کار چند روزه تمام خواهد شد؟
حلّ: ۱۰=M و ۳۰=D و ۳=K و ۵=m .بنابراین:

 

مسأله‌ی‌سوّم: M کارگر N هکتار زمین را در D روز شخم می‌زنند. کارگر(M>) ، هکتار زمین(N<) را در چند روز شخم می‌زنند؟ [فرض مسـأله ی اوّل برقرار است.]

 

حلّ: میزان کاری که هر کارگر در طول روز انجام می‌دهد عبارت است از . اگر کارگر هکتار زمین را در روز شخم بزنند آن‌گاه:.

مثال: ۲۰ کارگر، ۱۲ هکتار زمین را در ۶ روز شخم می‌زنند. ۱۵ کارگر، ۱۸ هکتار زمین را در چند روز شخم می‌زنند؟

 

اکنون پس از مطالعه‌ی مسائل و مثال‌های فوق، قادر خواهید بود تا آگاهانه‌تر از رابطه‌های مربوط به مبحث تناسب معکوس استفاده نمائید و به روشی برای حلّ این گونه مسائل دست یافته‌اید.