نهار مجانی

روزی ۱۰ نفر دوست دبستانی برای جشن تولدی به یک رستوران دعوت شدند. وقتی همه جمع شدند و نهار آورده شد ، برسر این که، چه کسی کجا بنشیند بین آن ها بحثی در گرفت . یکی از آن ها پیشنهاد کرد برحسب حروف الفبا کنار هم بنشینند ،یکی گفت بر اساس سن ،سومی معدل نمره ها را پیشنهاد کرد، دیگری قدو… بحث شان طولانی شده بود که پیشخدمت آن ها را به آرامش دعوت کرد و از آن ها خواست تا همان جایی که ایستاده اند،پشت میز [دریک ردیف] روی صندلی ها بنشینند.
سپس گفت: حالا خواهش می کنم یکی از شما این ترتیبی را که نشسته اید یادداشت کند، فردا دوباره برای خوردن غذا این جا بیایید و با ترتیب دیگری بنشینید و روزهای بعد به همین شکل به ترتیب جدیدی بنشینید تا همه ی حالت های ممکن را امتحان کنید. من هم قول می دهم وقتی دوباره نوبت به همین ترتیبی که اکنون نشسته اید، رسید ؛ آن روز از شما به طور مجانی پذیرایی کنم .

پیشنهاد را پسندیدند و قرار گذاشتند هر روز در آن رستوران جمع شوند و حالت های مختلف را امتحان کنند تا هر چه زود تر نوبت نهار مجانی برسد. ولی چنین روزی هرگز نرسید ، نه به خاطر بد قولی پیشخدمت،بلکه به این علت که تعداد انواع ممکن نشستن ، بی اندازه زیاد بود. این تعداد بدون کم و زیاد برابر با ۳۶۲۸۸۰۰ بود.به راحتی می شود حساب کرد که این تعداد روز، بیش از ۹۹۰۰ سال می شود.
حال برای این که راحت تر به قبول این گفته برسید ، ابتدا تعداد دوستان را برابر ۳ می گیریم و سه دوست را با A,B,C نشان می دهیم .
می خواهیم ببینیم چند جور می توان آن ها را دریک ردیف نشاند؟
بحث را این طور شروع می کنیم: اگر C را کنار بگذاریم، دو دوست باقی می مانند که آن ها فقط به دو روش می توانند کنار هم قرار بگیرند:.AB , BA حال ببینیم دوست C در هر یک از این دو حالت ، چند جور می تواند بنشیند؟
برای هر حالت ، سه وضع پیش می آید:

۱- C قبل از دو دوست بنشیند.
۲- C بعد از دو دوست بنشیند.
۳- C وسط دو دوست بنشیند.

بنابراین همه ی حالت های ممکن برای سه دوست برابر با ۶=۳×2 حالت خواهد شد.
اکنون ۴ دوست را در نظر می گیریم و آن ها را با A,B,C,D نشان می دهیم. دوباره یکی از آن ها ،مثلا" D را کنار می گذاریم و با سه دوست، همه ی حالت های ممکن را در نظر می گیریم . می دانیم که تعداد حالت ها برابر ۶ خواهد شد. حال ببینیم دوست D در هریک از این ۶ گروه سه تایی چند جور می تواند بنشیند؟

برای هر گروه ، چهار وضع پیش می آید :

۱- D قبل از سه دوست دیگر بنشیند.
۲- D بعد ازسه دوست دیگر بنشیند .
۳- D بین دوست اول و دوم بنشیند .
۴- D بین دوست دوم وسوم بنشیند.

به این ترتیب ۲۴=۴×6 یا به عبارت دیگر ۲۴=۴×3×2×1 حالت خواهیم داشت، اگر به همین ترتیب برای حالتی که ۵ دوست داریم ،ادامه دهیم؛ تعداد حالت های ممکن برابر خواهد شد با: ۱۲۰=۵×4×3×2×1 .
و برای ۶ دوست خواهیم داشت: ۷۲۰=۶×5×4×3×2×1 .
و به همین ترتیب برای وقتی که تعداد دوست ها بیش تر باشند. حالا به موضوع ۱۰ نفری که منتظر غذای مجانی بودند، بر می گردیم. اگر بخواهیم تعداد حالت ها را برای ۱۰ دوست پیدا کنیم باید زحمت ضرب زیر را تحمل کنیم:

۱۰×9×8×7×6×5×4×3×2×1 و در این صورت به همان عددی که قبلا" گفتیم ،خواهیم رسید ،یعنی : ۳۶۲۸۸۰۰ .
حالا اگر ۵ نفر از افراد حاضر در این مهمانی دختر و ۵ نفر پسر باشند و بخواهند طوری پشت میز، کنار هم بنشینند که یکی در میان پسر و دختر باشند، تعداد حالت ها کم تر و محاسبه ی آن کمی مشکل تر می شود.
فرض کنید یکی از پسر ها به طور دلخواه، پشت میز بنشیند، بقیه ی ۴ پسر باقی مانده ، در حالی که جای دخترها را بین خود خالی نگه می دارند ،می توانند به ۲۴=۴×3×2×1 حالت مختلف بنشینند و با توجه به این که پسر اول به ۱۰ حالت مختلف می تواند پشت میز بنشیند، پس تعداد حالت های نشستن برای پسرها برابر است با: ۲۴۰=۲۴×10 .
حال ببینیم دخترها چند جور می توانند روی صندلی ها بنشینند؟ واضح است که:

 120=5×4×3×2×1 . به این ترتیب اگر ۲۴۰ حالت قرار گرفتن پسر ها را در ۱۲۰ حالت قرار گرفتن دختر ها ضرب کنیم ، تعداد حالت های ممکن به دست خواهد آمد: ۲۸۸۰۰=۱۲۰×240 .
این عدد خیلی کوچک تر از عدد قبلی است ، در این مورد تقریبا" 79 سال وقت لازم است. اگر مهمان ها هر کدام ۱۰۰ سال عمر کنند ، می توانند بعد از آن، یا از خود پیشخدمت یا بازماندگان او نهار مجانی مطالبه کنند.

منبع:کتاب ریاضیات زنده