تابع حقیقی با ضابطه
، 
را در نظر می گیریم و نمودار آن را در صفحه محورهای مختصات ( مانند شکل ۱ ) رسم می کنیم .
شکل۱
مرحله ی اول:سطح زیر منحنی به معادله ی 
، و محدود به محورx ها و خط 
طبق رابطه ی زیر به دست می آید.
: اندازه ی
سطح A
پس مقدار سطح A نا متناهی است و اگر بخوا هیم این سطح را رنگ بزنیم ،با تمام رنگ های دنیا هم نمی توان این کار را انجام داد.
مرحله ی دوم:ما در این مرحله سطح نا متناهی A را حول محور x ها دوران می دهیم.جسمی که از این دوران به دست می آیدرا اصطلاحا" "شیپور گابریل" می گویند.(شکل ۲ را ببینید).
شکل۲
: حجم
جسم
این محاسبه نشان می دهد که این شیپور را با
واحد مکعب رنگ می توان پر از رنگ کرد.
مرحله ی سوم:ما در این مرحله این جسم را با صفحه ی محور های مختصات برش عرضی می زنیم.مسلما" با توجه به محاسبه ی مرحله ی دوم برای رنگ آمیزی این مقطع به مقداری کم تر از واحد مکعب رنگ احتیاج داریم.
از طرفی این سطح مقطع دو برابر سطح نا متناهی A است،پس با توجه به مرحله ی اول حتی با تمام رنگ های دنیا هم نمی توان این سطح مقطع را رنگ آمیزی کرد.
این مطلب را چگونه توجیه می کنید!!!
منبع : مجله برهان
