مقاله را با طرح مساله ی زیر آغاز می کنیم:
مساله:مستطیل PQRS با طول و عرض به ترتیب 15 و ۶ سانتی‌متر را در نظر بگیرید.مساحت مثلث A برابر ۴ سانتی متر مربع و مساحت مثلث B برابر ۱۶سانتی متر مربع می‌باشند. مساحت مستطیل C چقدر است؟
شکل ۱
راه حل اول:مساحت مثلث SQR برابر است با: ۴۵=۲/(۶×15).بنابراین مساحت مستطیل C چنین محاسبه خواهد شد: ۲۵=۴-۱۶-۴۵ .
راه حل دوم:با استفاده از قضیه ی تالس و با توجه به این که نسبت مساحت های دو مثلث B به A برابر ۴ است پس:۲=VQ/WS=VX/WX=QX/SX و لذا مساحت C برابر ۲۰ سانتی متر مربع است.
در این جا می بینید که حل این مساله به دو جواب مختلف منجر می شود.اما مشکل کجاست؟
در حقیقت باید گفت که با فرض های مساله،X نمی تواند بر پاره خط SQ واقع شود.
اگر PT=a و VQ=b قرار دهیم آن گاه ۱۶=۲/(ab) و 
و لذا خواهیم داشت:
.از این جا دو سری جواب به صورت زیر به دست می آوریم:
و 
و 
پس شکل مساله با توجه به مفروضات آن به یکی از دو صورت زیر رسم می شود:
شکل ۲
شکل ۳
مساحت C در شکل ۲ برابر 
و در شکل ۳ برابر 
است .
حالت دیگری که می توان در نظر گرفت از این قرار است:(در این حالت C دیگر مستطیل نیست.)
شکل ۴
پارادوکس کیوری(Curry):
طرح مساله ی قبل ما را به سمت پارادوکس مشهوری به نام پارادوکس کیوری سوق می دهد. در شکل زیر در هر دو بخش چنین به نظر می‌رسد که یک مثلث قائم الزاویه به دو مثلث قائم الزاویه ی کوچک‌تر و یک مستطیل تقسیم شده است جز این که دومی یک واحد مربع کم تر دارد.در اولی مستطیل گوشه ی سمت راست پایین یک مستطیل ۵×3 و در دومی یک مستطیل ۸×2 می‌باشد.
شکل ۵
با مقایسه‌ی شیب وترهای سه مثلث قائم الزاویه در شکل ۵ می‌بینیم که:
توضیحی که در مورد این پارادوکس مطرح می‌شود این است که مثلث بزرگ در واقع یک مثلث نمی‌باشد!وتر مثلث بزرگ شکستگی دارد که در قسمت بالایی،اندکی متمایل به داخل است در حالی که در قسمت پایینی،اندکی متمایل به خارج است.
شکل ۶
مساحت بین دو قطعه ی شکسته،برابر ۱ واحد مربع است.
طول اضلاع مجاور به زاویه ی قائمه به طور تصادفی انتخاب نشده‌اند.طول این اضلاع در سه مثلث عبارت هستند از:(۲ ، ۵) ، (۳ ، ۸) و (۵ ، ۱۳) که اعداد فیبوناتچی می‌باشند.
حالت کلی پارادوکس:
اعداد فیبوناتچی به صورت زیر تعریف می‌شوند:
(
) 
و 
اکنون در شکلی مانند شکل ۵، اضلاع مجاور به زاویه ی قائمه ی مثلث ها را به صورت:
در نظر می گیریم.
در این لحظه،توجه شما را به اتحاد کاتالان جلب می کنیم:
در این رابطه،nوr اعداد طبیعی بوده و n>r است.(برای دیدن اثباتی از این اتحاد به:www.planetmath.org مراجعه نمایید.)
با قرار دادن ۲+n به جای n و ۲=r در اتحاد کاتالان داریم:
(*) 
از طرفی:
(**) 
در روابط (*) و (**) برای n زوج ،هر دو عبارت مثبت خواهند بود و لذا خواهیم داشت: 
.
و هم‌چنین برای n فرد،نتیجه می‌شود که :
.
این کسرها در حقیقت،شیب سه وتر مثلث های قائم الزاویه هستند و همان توضیحی که در حالت خاص آمد را برای حالت کلی پارادوکس،خواهیم داشت.
توضیح دیگری که در مورد این پارادوکس می توان ارائه کرد بر اساس مقایسه ی مساحت ها است.در قسمت بالایی شکل ۵ داریم:۵/۳۲=۲/(۵×13)=مساحت که برابر است با:
۳۲=۵+۱۲+۱۵=مساحت مثلث زرد+مساحت مثلث قرمز+مساحت مستطیل
و این تناقض است.
در قسمت پایینی شکل ۵ نیز با یک روش،مساحت ۳۲ واحد مربع و با روشی دیگر ۵/۳۱ واحد مربع می شود که تناقض است.
پارادوکس 65=64 :
اکنون باید قادر باشید که مطلب زیر را توجیه نمایید:
منبع:
www.math.nus.edu.sg
