ریاضی دان کوچک

یک روز شاگرد ده ساله ای پیش من آمد و پرسید :من متوجه شده ام که اگر تعدادفردی عدد رادر نظر بگیریم که متوالی می باشند و بخواهیم این اعداد را با هم جمع کنیم ،کافی است عدد آخر را در عدد وسط ضرب کنیم .
مثلا" اگر عددها را از ۱ تا ۷ در نظر بگیریم ،می توان برای به دست آوردن حاصل جمع: عدد آخر(یعنی ۷ )را در عددی که در وسط ۱ و ۷ قرار گرفته است(یعنی ۴ ) ضرب کنیم:

۷ و ۶ و ۵ و ۴ و ۳ و ۲ و ۱

۲۸=۴×7

ضمنا" روشن است که: ۲۸ = ۷+۶+۵+۴+۳+۲+۱ .

من می دانم که این قاعده همیشه درست است،ولی نمی دانم که چرا درست است؟

ریاضی دان کوچک 

من به طرف کلاس بر گشتم و گفتم: سارا یک مساله ی جالب پیدا کرده است!
من هنوز توضیح خود را در باره ی موضوع مساله تمام نکرده بودم که زیرک ترین دختر کلاس طوری از جا پرید که به زحمت توانست از افتادن خود جلوگیری کند.
عکس العمل طوفانی او بی جهت نبود:
_سارا ۷ را در ۴ ضرب کرده است،یعنی: 

۴+۴+۴+۴+۴+۴+۴

ولی سارا می خواسته است که مجموع :

 7+6+5+4+3+2+1

را به دست آورد.به این ترتیب به جای عدد ۱ ،عدد ۴ را به حساب آورده است، تا این جا ۳ واحد بیش تر حساب کرده است،ولی به جای ۷ هم،عدد ۴ را گرفته است و این ۳ واحد کم تر است.بنابراین روی هم اختلافی پیش نمی آید،به همین ترتیب ۲ به اندازه ی ۲ واحد از ۴ کم تر و ۶ به اندازه ی ۲ واحد از ۴ بیش تر است.در این جا هم اختلافی پیدا نمی شود.وقتی که عددهای ۳ و ۵ را هم به جای ۴ می نویسیم،در مجموع تغییری پیدا نمی شود.به همین جهت است که دو مجموع یکی از آب در می آیند.
یکی دیگر از شاگردان من ،مریم فریاد زد:
_این مثل دفترچه است!
_روشن تر بگو،چه می خواهی بگویی؟
__در مساله ی ما، جمله ی اول با جمله ی آخر مقایسه می شود ،بعد جمله ی دوم با یکی مانده به آخر،درست مثل صفحه های دفترچه،در این جا هم صفحه ی اول به صفحه ی آخر وصل است و صفحه ی دوم به صفحه ی یکی مانده به آخر.
یکی از نوابغ ریاضی که به "سلطان ریاضی دان ها" معروف است.وقتی که دانش آموز کوچکی بود این رابطه را کشف کرد.

حکایت می کنند که معلم وی،که می خواست چند دقیقه ای استراحت کند،از او خواست که همه ی عدد های از ۱ تا ۱۰۰ را باهم جمع کند،ولی امید معلم برای چند دقیقه استراحت برباد رفت،خیلی زود صدای دانش آموز بلند شد:
_جواب ۵۰۵۰ !
معلم که دید پاسخ او کاملا" درست است،از او خواست که توضیح دهد که چگونه این کار را انجام داده است!
_من متوجه شدم که

۱۰۱=۱۰۰+۱
۱۰۱=۹۹+۲
۱۰۱=۹۸+۳
.
.
.
۱۰۱=۱+۱۰۰

در رابطه های فوق ۱۰۰مرتبه ۱۰۱ را نوشته ایم پس مجموع۱ تا ۱۰۰ برابر است با جمع نیمی از آن ها :

۵۰۵۰=۱۰۱×50

این ریاضی دان کوچک ردیفی از عددهای متوالی را با هم جمع کرد که تعداد آن ها زوج بود،با وجود این ،از همان روشی استفاده کرد که شاگرد من سارا برای پیدا کردن مجموع تعدادی فرد عدد متوالی ،استفاده کرد .
بنابراین وقتی که گفتگو از مجموع تعدادی عدد متوالی باشد،بدون هیچ زحمتی می توان دوبرابر مجموع لازم را پیدا کرد.کافی است عدد اول را به عدد آخر اضافه کرد،عدد دوم را به یکی مانده به آخر،و غیره.برای این منظور می توان عددها را دو بار در دو سطر زیر هم نوشت.تنها در سطر دوم باید عددها را از جهت عکس، یعنی از آخر به اول یادداشت کرد،مثلا":

۴+۳+۲+۱
۱+۲+۳+۴

از جمع هر عدد با عددی که زیر آن قرار دارد به دست می آید:

۲۰=۵×4=5+5+5+5
5+4+3+2+1
1+2+3+4+5

۳۰=۶×5=6+6+6+6+6

و این دو برابر مجموعی است که ما لازم داریم،مجموع های مورد نظر ما برابر ۱۰ و ۱۵ هستند.در واقع:

۱۰=۴+۳+۲+۱ و ۱۵=۵+۴+۳+۲+۱

قاعده : باید مجموع عدد اول و عدد آخر را در تعداد عددها ضرب کنیم و نتیجه ای که به دست می آید را نصف کنیم:

۱۰=۲÷20 20=4×5=4×(4+1)
15=2÷30 30=5×6=5×(5+1)

این قاعده هم مثال سارا وهم مثال ریاضی دان کوچک ما را در بر می گیرد. اکنون به مثال های مطرح شده برای سارا و ریاضی دان کوچک باز می گردیم :

۷+۶+۵+۴+۳+۲+۱

۲۸=۲÷56 56=7×(7+1)

۱۰۰+…+۲+۱

۵۰۵۰=۲÷10100 10100=100×(100+1)

در ضمن کلاس من متوجه شدم که این قاعده نه تنها برای مجموع عددهای متوالی ،بلکه برای مجموع عددهائی که تفاوت هر دو عدد متوالی در آن مقداری ثابت باشد،درست است.مثلا" این روش را می توان در مورد مجموع:

 13+11+9+7+5 هم به کار برد.

در این مجموع هر عدد به اندازه ی ۲ تا از عدد قبلی بزرگ تر است،هم چنین مجموع :

۳۵+۳۰+۲۵+۲۰+۱۵+۱۰

 

که در آن تفاوت هر دو عدد متوالی برابر است با ۵ . در این نمونه ها هم،مجموع دو جمله ی اول و آخر برابر است با مجموع جمله ی دوم و جمله ی یکی مانده به آخر و غیره؛

در مثال اول مجموع برابر است با : ۴۵=۲÷

در مثال دوم مجموع برابر است با :

۱۳۵=۲÷.

منبع:کتاب بازی با ریاضیات
نویسنده:روزا پتر
ترجمه:پرویز شهریاری