سارا جست و خيز را دوست دارد

ساراي كوچك در كلاس دوم دبستان درس مي خواند ولي خيلي علاقه مند است كه در كلاس هاي انجمن رياضي شركت كند. با آن كه سارا دختر باهوشي است ، معلمي كه انجمن رياضي را اداره مي كند، اعتقاد دارد كه براي او بهتر است با همسالان خود، بازي و جست و خيز كند .
يك روز در مقابل اصرار سارا كه اجازه ي شركت در انجمن را مي خواست، معلم به او گفت:
_تو حتما" مي داني كه دوازده پله تا در انجمن وجود دارد (اگر تا امروز نشمرده اي مي تواني امتحان كني!)
خب هر صبح ، يك ربع قبل از شروع كلاس از پله ها بالا مي روي. من مي دانم كه تو جست و خيز را دوست داري بنابراين به تو اجازه مي دهم اگر مي خواهي از روي يك پله بپري يعني يك باره دو پله را بالا بروي (به اصطلاح دو پله يكي كني). البته مي تواني همه ي پله ها را يكي يكي يا همه را دوتادوتا و يا بعضي را يكي يكي و بعضي را دوتادوتا بروي.بنابراين به ترتيب هاي مختلفي مي تواني از پله ها بالا بروي (بسته به اين كه كدام پله ها را يك در ميان بروي )
به هر پله كه برسي دو راه در برابرت قرار دارد :
يا پا را بر آن بگذاري و يا از روي آن بپري و پا را بر پله ي بالاتر از آن بگذاري ، هر وقت كه توانستي با همه ي روش هاي ممكن از پلكان بالا بروي تو را در انجمن رياضي خواهم پذيرفت .
سارا سعي كرد كه زرنگي كند و گفت :
_وقتي از پلكان بالا رفتم،آيا مي توانم دوباره پايين بيايم ؟آخه در 15 دقيقه اي كه تا وقت كلاس باقي مانده است من مي توانم چند بار از آن بالا بروم.
ولي معلم با تندي پاسخ داد :
_تنها اجازه داري هر روز يك بار از پلكان بالا بروي.
سارا هر روز صبح از پلكان بالا مي رود و كاملا" مراقب است كه اين عمل را هر روز به نحوي غير از روزهاي پيش انجام دهد تا بتواند هر چه زود تر به انجمن رياضي وارد شود.
براي اين كه سارا به آرزوي قلبي خود برسد بايد به روش زير عمل كند :
يا پا را روي پله ي اول بگذارد و يا يك باره به پله ي دوم بپرد .براي بالا رفتن از پلكان 3 پله اي ، سه روش وجود دارد :
يا از طريق پله هاي اول و سوم ، يا از طريق پله هاي دوم و سوم و يا بالاخره از طريق پله هاي اول و دوم و سوم .
عبور از پلكان 4 پله اي ، به 5 طريق ممكن است :
با پا گذاشتن به پله هاي اول ، دوم ،سوم و چهارم يا دوم، سوم و چهارم يا اول ، سوم و چهارم يا اول ، دوم و چهارم و يا پله هاي دوم و چهارم .
ولي براي بالا رفتن از 5 پله، چند طريق وجود دارد؟ بهتر است اين بار از محاسبه ي مستقيم استفاده نكنيم و يك قانون مندي را دنبال كنيم. هر چه تعداد پله ها زياد تر شود، جدا كردن همه ي حالت هاي ممكن دشوارتر مي شود .بنابراين تلاش مي كنيم نوعي نظم را پيدا كنيم. يك چيز را مشخص كرده ايم :مي دانيم از پلكاني كه تعداد پله هاي آن عدد دلخواهي از 1 تا 4 مي باشد به چند طريق مي توان بالا رفت.
آيا نمي توان محاسبه ي مربوط به 5 پله را با تكيه بر آن چه درباره ي پله هاي كم تر مي دانيم ، انجام داد؟
چرا نمي شود ؟!!
سارا به دو طريق مي تواند خود را به پله ي پنجم برساند يا از پله ي سوم و يا از پله ي چهارم .
بنابراين براي رسيدن به پله ي پنجم، مي تواند يا اول به هر طريقي كه ممكن است خود را به پله ي سوم برساند و سپس از آن جا به پله ي پنجم برود و يا به هر طريقي كه ممكن است تا پله ي چهارم بيايد و بعد پا را بر پله ي پنجم بگذارد .ديگر هيچ راه ديگري براي رسيدن به پله ي پنجم وجود ندارد و ضمنا" دو طريق بالا با هم فرق دارند.
بنابراين تعداد روش هاي بالا رفتن از 5 پله برابر است با مجموع تعداد روش هايي كه براي بالا رفتن از 4 پله و 3 پله لازم است ، يعني 8=3+5 روش مختلف .
به اين ترتيب مي توان قانع شد كه تعداد روش هاي بالا رفتن از 6 پله برابر است با مجموع تعداد روش هايي كه روي هم براي بالا رفتن از 5 پله و 4 پله لازم است ، يعني 13=5+8 روش مختلف.
به اين ترتيب ، سارا بالا رفتن از يك پله را با 1 روش و بالا رفتن از دو پله را با 2 روش و براي مورد هاي ديگر نيز به ترتيب زير انجام مي دهد :

 روش 3 = 2+1 براي 3 پله
روش 5 =3+2  براي 4 پله
 روش 8=5+3  براي 5 پله
 روش 13=8+5 براي 6 پله
 روش 21=13+8 براي 7 پله

روش 34=21+13براي 8 پله
روش 55=34+21 براي 9 پله
روش 89 =55+34 براي 10پله
 روش 144=89+ 55 براي 11پله
روش 233=144+89 براي 12 پله

به اين ترتيب سارا بايد 233 بار از پلكان انجمن بالا برود تا معلم به او اجازه ي شركت در كلاس هاي انجمن رياضي را بدهد و براي اين منظور دست كم به 233 روز نياز دارد.

انتظار او بعد از گذشت اين روزها به پايان مي رسد و اميدواريم سارا بتواند جاي نماياني در انجمن پيدا كند.
 

منبع :كتاب 175 مساله ي منطقي
مترجم: پرويز شهرياري