پسرعموهاي “+”

روزی یکی از دانش آموزان پس از ورود معلم به کلاس از جا برخاست و گفت : اجازه آقا من چند رابطه ي عجیب در ریاضی را ثابت کرده ام .
معلم که شور و اشتیاق این دانش آموز را دید،از او خواست که پای تابلو بیاید و رابطه هايش را بنویسد .
شاگرد پای تابلو آمد و با کمال تعجب نوشت :

ناگهان کلاس از خنده منفجر شد و معلم پس از دعوت کردن شاگردان به سکوت ، رو به دانش آموز کرد وگفت :
من هم درست زمانی که هم سن و سال تو بودم ، از این گونه رابطه ها و آن چه که به غلط به عنوان استدلال این رابطه ها می آورند بسیار دیده ام . مثلا" آن چه درباره ي  رابطه ي اول می آورند چنین است :

0=X

X=-X

1=1-

  0=1+1

برای سایر رابطه ها نیز کافی است به جای 1ها در رابطه های بالا،2و3و….قرار دهیم.

اما دانش آموز گفت:اجازه آقا من هم این گونه استدلال نماها را دیده ام.اما منظورم چیز دیگری است.معلم پرسید:پس منظورت چیست؟دانش آموز گفت:اجازه دهید اول کمی درباره ی خاصیت های عمل جمع در عددهای حقیقی صحبت کنم.برای عددهای حقیقی دلخواهa,b,cداریم:

1) خاصیت شرکت پذیری :   .
2) خاصیت جابجایی  :.
3) خاصیت عضو خنثی : .
4) خاصیت عضو قرینه : .

اکنون اگر برای مجموعه ی عمل+را به صورت زیر تعریف کنیم:

آن گاه عمل +برA تمامی خاصیت های جمع عددهای حقیقی را دارد و برای آن خواهیم داشت: 0=1+1.

واگر برای مجموعه ی عمل+ را به صورت زیر تعریف کنیم:

آن گاه عمل + بر A تمامی خاصیت های جمع عددهای حقیقی را دارد و برای آن خواهیم داشت:0=2+2 .

واگر برای مجموعه ی عمل+ را به صورت زیر تعریف کنیم:

آن گاه عمل + بر A تمامی خاصیت های جمع عددهای حقیقی را دارد و برای آن خواهیم داشت: 0=3+3 .

آن چه که برای ما در این بحث اهمیت دارد این است که عمل های + که در بالا تعریف شدند علاوه بر این که رابطه های 0=1+1و0=2+2و0=3+3را بر می آورند خاصیت های عمل جمع در عددهای حقیقی را نیز حفظ می کنند.

پس از این استدلال دانش آموز،معلم به او آفرین گفت وازشاگردان خواست تا اورا مورد تشویق قرار دهند وبه عنوان تمرین از شاگردان خواست تا با تعریف عمل های +مناسب بر مجموعه های مناسب،ضمن این که این عمل های+خاصیت های جمع عددهای حقیقی را حفظ می کنند، داشته باشیم: 0=5+5و0=4+4 .