سارا جست و خیز را دوست دارد

سارای کوچک در کلاس دوم دبستان درس می خواند ولی خیلی علاقه مند است که در کلاس های انجمن ریاضی شرکت کند. با آن که سارا دختر باهوشی است ، معلمی که انجمن ریاضی را اداره می کند، اعتقاد دارد که برای او بهتر است با همسالان خود، بازی و جست و خیز کند .
یک روز در مقابل اصرار سارا که اجازه ی شرکت در انجمن را می خواست، معلم به او گفت:
_تو حتما" می دانی که دوازده پله تا در انجمن وجود دارد (اگر تا امروز نشمرده ای می توانی امتحان کنی!)
خب هر صبح ، یک ربع قبل از شروع کلاس از پله ها بالا می روی. من می دانم که تو جست و خیز را دوست داری بنابراین به تو اجازه می دهم اگر می خواهی از روی یک پله بپری یعنی یک باره دو پله را بالا بروی (به اصطلاح دو پله یکی کنی). البته می توانی همه ی پله ها را یکی یکی یا همه را دوتادوتا و یا بعضی را یکی یکی و بعضی را دوتادوتا بروی.بنابراین به ترتیب های مختلفی می توانی از پله ها بالا بروی (بسته به این که کدام پله ها را یک در میان بروی )
به هر پله که برسی دو راه در برابرت قرار دارد :
یا پا را بر آن بگذاری و یا از روی آن بپری و پا را بر پله ی بالاتر از آن بگذاری ، هر وقت که توانستی با همه ی روش های ممکن از پلکان بالا بروی تو را در انجمن ریاضی خواهم پذیرفت .
سارا سعی کرد که زرنگی کند و گفت :
_وقتی از پلکان بالا رفتم،آیا می توانم دوباره پایین بیایم ؟آخه در ۱۵ دقیقه ای که تا وقت کلاس باقی مانده است من می توانم چند بار از آن بالا بروم.
ولی معلم با تندی پاسخ داد :
_تنها اجازه داری هر روز یک بار از پلکان بالا بروی.
سارا هر روز صبح از پلکان بالا می رود و کاملا" مراقب است که این عمل را هر روز به نحوی غیر از روزهای پیش انجام دهد تا بتواند هر چه زود تر به انجمن ریاضی وارد شود.
برای این که سارا به آرزوی قلبی خود برسد باید به روش زیر عمل کند :
یا پا را روی پله ی اول بگذارد و یا یک باره به پله ی دوم بپرد .برای بالا رفتن از پلکان ۳ پله ای ، سه روش وجود دارد :
یا از طریق پله های اول و سوم ، یا از طریق پله های دوم و سوم و یا بالاخره از طریق پله های اول و دوم و سوم .
عبور از پلکان ۴ پله ای ، به ۵ طریق ممکن است :
با پا گذاشتن به پله های اول ، دوم ،سوم و چهارم یا دوم، سوم و چهارم یا اول ، سوم و چهارم یا اول ، دوم و چهارم و یا پله های دوم و چهارم .
ولی برای بالا رفتن از ۵ پله، چند طریق وجود دارد؟ بهتر است این بار از محاسبه ی مستقیم استفاده نکنیم و یک قانون مندی را دنبال کنیم. هر چه تعداد پله ها زیاد تر شود، جدا کردن همه ی حالت های ممکن دشوارتر می شود .بنابراین تلاش می کنیم نوعی نظم را پیدا کنیم. یک چیز را مشخص کرده ایم :می دانیم از پلکانی که تعداد پله های آن عدد دلخواهی از ۱ تا ۴ می باشد به چند طریق می توان بالا رفت.
آیا نمی توان محاسبه ی مربوط به ۵ پله را با تکیه بر آن چه درباره ی پله های کم تر می دانیم ، انجام داد؟
چرا نمی شود ؟!!
سارا به دو طریق می تواند خود را به پله ی پنجم برساند یا از پله ی سوم و یا از پله ی چهارم .
بنابراین برای رسیدن به پله ی پنجم، می تواند یا اول به هر طریقی که ممکن است خود را به پله ی سوم برساند و سپس از آن جا به پله ی پنجم برود و یا به هر طریقی که ممکن است تا پله ی چهارم بیاید و بعد پا را بر پله ی پنجم بگذارد .دیگر هیچ راه دیگری برای رسیدن به پله ی پنجم وجود ندارد و ضمنا" دو طریق بالا با هم فرق دارند.
بنابراین تعداد روش های بالا رفتن از ۵ پله برابر است با مجموع تعداد روش هایی که برای بالا رفتن از ۴ پله و ۳ پله لازم است ، یعنی ۸=۳+۵ روش مختلف .
به این ترتیب می توان قانع شد که تعداد روش های بالا رفتن از ۶ پله برابر است با مجموع تعداد روش هایی که روی هم برای بالا رفتن از ۵ پله و ۴ پله لازم است ، یعنی ۱۳=۵+۸ روش مختلف.
به این ترتیب ، سارا بالا رفتن از یک پله را با ۱ روش و بالا رفتن از دو پله را با ۲ روش و برای مورد های دیگر نیز به ترتیب زیر انجام می دهد :

 روش ۳ = ۲+۱سارا جست و خیز را دوست دارد برای ۳ پله
روش ۵ =۳+۲  برای ۴ پله
 روش ۸=۵+۳  برای ۵ پله
 روش ۱۳=۸+۵ برای ۶ پله
 روش ۲۱=۱۳+۸ برای ۷ پله

روش ۳۴=۲۱+۱۳برای ۸ پله
روش ۵۵=۳۴+۲۱ برای ۹ پله
روش ۸۹ =۵۵+۳۴ برای ۱۰پله
 روش ۱۴۴=۸۹+ ۵۵ برای ۱۱پله
روش ۲۳۳=۱۴۴+۸۹ برای ۱۲ پله

به این ترتیب سارا باید ۲۳۳ بار از پلکان انجمن بالا برود تا معلم به او اجازه ی شرکت در کلاس های انجمن ریاضی را بدهد و برای این منظور دست کم به ۲۳۳ روز نیاز دارد.

 

انتظار او بعد از گذشت این روزها به پایان می رسد و امیدواریم سارا بتواند جای نمایانی در انجمن پیدا کند.
 

منبع :کتاب ۱۷۵ مساله ی منطقی
مترجم: پرویز شهریاری