فرض كنيد سه ظرف به گنجايش هاي 12، 9 ، 5 ليتر داريم. ظرف 12 ليتري پر از آب است و دو ظرف ديگر خالي هستند . مي خواهيم محتواي ظرف 12ليتري را به كمك دو ظرف ديگر به دو قسمت مساوي تقسيم كنيم اما چه طور؟
روشن است كه براي حل مساله لازم نيست از ظرف هاي واقعي استفاده كنيم بلكه كافي است جابه جايي آب را به شكل زير انجام دهيم:
در هر ستون،مقدار آب داخل هر ظرف،بعد از تغيير نوشته شده است.
در ستون اول :ظرف 5 ليتري را پر مي كنيم ،ظرف 9 ليتري خالي مي ماند (0) و در ظرف 12 ليتري ، 7 ليتر باقي مي ماند .
در ستون دوم :از ظرف 12 ليتري ،7 ليتر را در ظرف 9 ليتري ريخته ايم و غيره.
كوشش كنيد با تغيير نوع عمل ها ، راه حل ديگري براي اين مساله به دست آوريد.
در مورد اين مساله ي جالب ،بايد مطلب زير روشن شود:
آيا مي توان به كمك دو ظرف خالي ،از ظرف سومي كه پر از آب است هر مقدار دلخواه آب برداشت ،مثلا" از ظرف 12 ليتري و به كمك ظرف هاي 9 و 5 ليتري ،يك ليتر ،دو ليتر ،سه ليتر ،چهار ليتر …. تا 11 ليتر بر داريم ؟
تمام بحث انجام شده در بالا را مي توان به كمك توپ باهوش ،البته به شرطي كه ميز بيلياردي مخصوص آن طراحي شده باشد ، مورد بررسي قرار داد.
.jpg)
روي يك ورق كاغذ ، خط هاي موازي و مايلي چنان رسم كنيد كه خانه هاي شطرنجي به شكل لوزي با زاويه ي 60 درجه به وجود آيد سپس شكلOBCDA را طبق شكل زير بسازيد :
اين همان ميز بيليارد است . اگر توپ بيليارد را در طول OA حركت دهيم ،پس از برخورد به كناره ي AD ، طبق قانون، زاويه تابش برابر زاويه بازتابش است پس زاويه تابش
= زاويه بازتابش 
،توپ در امتداد 
حركت مي كند . بعد از برخورد در 
روي امتداد 
به حركت در مي آيد و بعدبا تكرار اين روش به ترتيب روي خط هاي 
حركت خواهد نمود .
در شكل فوق ضلع OA شامل 9 خانه (گنجايش پيمانه ي بزرگ تر)،OB شامل 5 خانه(گنجايش پيمانه ي كوچك تر) ، AD شامل 3 خانه(اختلاف حجم ظرف پر از آب وپيمانه ي بزرگ تر, 3=9-12) و بالاخره BC شامل 7 خانه (اختلاف حجم ظرف پر از آب وپيمانه ي كوچك تر, 7=5-12)مي باشد.
متذكر مي شويم كه هر نقطه واقع بر ضلع هاي ميز ، با تعداد خانه هاي معيني از OB و OA جدا شده است .مثلا" فاصله ي نقطه ي تا OB ،چهار خانه و تا OA پنج خانه است ،از نقطه ي 
تا OB چهار خانه و تا OA صفر خانه است. بنابراين هر نقطه از ضلع هاي ميز ، كه توپ بيليارد به آن جا مي رسد به وسيله ي دو عدد مشخص مي شود. اولين عدد ،يعني تعداد خانه هايي كه نقطه را از OB جدا مي كند، نماينده ي مقدار آب در ظرف 9 ليتري و دومين عدد ،يعني تعداد خانه هايي كه نقطه را از OA جدا مي كند ، نماينده ي مقدار آب در ظرف 5 ليتري مي باشد، البته بقيه ي آب در ظرف 12 ليتري خواهد بود.
اكنون توپ بيليارد را در امتداد OA حركت دهيد و ضمن اين كه متوجه نقطه های برخورد آن با كناره ها ي ميز هستيد ،حركت آن را تا 
تعقيب نمائيد . چند نقطه ي برخورد را براي نمونه مي نويسيم :اولين نقطه ي برخورد (0و9)A .دومين نقطه ي برخورد (5و4) .سومين نقطه ي برخورد (0و4) .نقطه ي چهارم (4و0)
. نقطه ي پنجم (4و8)
:[در اين لحظه توپ راهنمايي مي كند كه 8 ليتر آب را در ظرف خالي 9 ليتري بريزيم] .و….
اگر اجازه دهيد كه توپ حركت خود را ادامه دهد از تمام راس هاي لوزي ها ،خواهد گذشت.و سپس به نقطه ي اوليه ي O بر خواهد گشت.اين حركت به معناي آن است كه از ظرف 12ليتري مي توان ازيك تا نه ليتر (بايد مقدار برحسب ليتر و با عدد صحيح بيان شده باشد.) در ظرف 9 ليتري و از يك تا پنج ليتر در ظرف 5 ليتري ريخت .
اگر كمي دقت كنيم مي بينيم كه توپ مي تواند راه حل كوتاه تري به ما بدهد، براي اين منظور توپ را در امتداد كناره ي OBحركت مي دهيم و در اين حالت روي هم 8 برخورد تا رسيدن به انجام مي گيرد.
نكته :مساله اي از اين نوع ممكن است اصلا" جوابي نداشته باشد .اما توپ چگونه اين امر را نشان مي دهد ؟
خيلي ساده : در اين حالت ، توپ به نقطه ي O برمي گردد بدون اين كه از نقطه ي مورد نظر عبور كرده باشد .
تمرين : با رسم ميز بيليارد،نشان دهيد كه نمي توان به كمك ظرف هاي 7 ليتري و 9 ليتري ،آب ظرف 12 ليتري را به دو قسمت مساوي 6 ليتري تقسيم كرد.
منبع : سرگرمي هاي هندسه
