نهار مجاني

روزي 10 نفر دوست دبستاني براي جشن تولدي به يك رستوران دعوت شدند. وقتي همه جمع شدند و نهار آورده شد ، برسر اين كه، چه كسي كجا بنشيند بين آن ها بحثي در گرفت . يكي از آن ها پيشنهاد كرد برحسب حروف الفبا كنار هم بنشينند ،يكي گفت بر اساس سن ،سومي معدل نمره ها را پيشنهاد كرد، ديگري قدو… بحث شان طولاني شده بود كه پيشخدمت آن ها را به آرامش دعوت كرد و از آن ها خواست تا همان جايي كه ايستاده اند،پشت ميز [دريك رديف] روي صندلي ها بنشينند.
سپس گفت: حالا خواهش مي كنم يكي از شما اين ترتيبي را كه نشسته ايد يادداشت كند، فردا دوباره براي خوردن غذا اين جا بياييد و با ترتيب ديگري بنشينيد و روزهاي بعد به همين شكل به ترتيب جديدي بنشينيد تا همه ي حالت هاي ممكن را امتحان كنيد. من هم قول مي دهم وقتي دوباره نوبت به همين ترتيبي كه اكنون نشسته ايد، رسيد ؛ آن روز از شما به طور مجاني پذيرايي كنم .

پيشنهاد را پسنديدند و قرار گذاشتند هر روز در آن رستوران جمع شوند و حالت هاي مختلف را امتحان كنند تا هر چه زود تر نوبت نهار مجاني برسد. ولي چنين روزي هرگز نرسيد ، نه به خاطر بد قولي پيشخدمت،بلكه به اين علت كه تعداد انواع ممكن نشستن ، بي اندازه زياد بود. اين تعداد بدون كم و زياد برابر با 3628800 بود.به راحتي مي شود حساب كرد كه اين تعداد روز، بيش از 9900 سال مي شود.
حال براي اين كه راحت تر به قبول اين گفته برسيد ، ابتدا تعداد دوستان را برابر 3 مي گيريم و سه دوست را با A,B,C نشان مي دهيم .
مي خواهيم ببينيم چند جور مي توان آن ها را دريك رديف نشاند؟
بحث را اين طور شروع مي كنيم: اگر C را كنار بگذاريم، دو دوست باقي مي مانند كه آن ها فقط به دو روش مي توانند كنار هم قرار بگيرند:.AB , BA حال ببينيم دوست C در هر يك از اين دو حالت ، چند جور مي تواند بنشيند؟
براي هر حالت ، سه وضع پيش مي آيد:

1- C قبل از دو دوست بنشيند.
2- C بعد از دو دوست بنشيند.
3- C وسط دو دوست بنشيند.

بنابراين همه ي حالت هاي ممكن براي سه دوست برابر با 6=3×2 حالت خواهد شد.
اكنون 4 دوست را در نظر مي گيريم و آن ها را با A,B,C,D نشان مي دهيم. دوباره يكي از آن ها ،مثلا" D را كنار مي گذاريم و با سه دوست، همه ي حالت هاي ممكن را در نظر مي گيريم . مي دانيم كه تعداد حالت ها برابر 6 خواهد شد. حال ببينيم دوست D در هريك از اين 6 گروه سه تايي چند جور مي تواند بنشيند؟

براي هر گروه ، چهار وضع پيش مي آيد :

1- D قبل از سه دوست ديگر بنشيند.
2- D بعد ازسه دوست ديگر بنشيند .
3- D بين دوست اول و دوم بنشيند .
4- D بين دوست دوم وسوم بنشيند.

به اين ترتيب 24=4×6 يا به عبارت ديگر 24=4×3×2×1 حالت خواهيم داشت، اگر به همين ترتيب براي حالتي كه 5 دوست داريم ،ادامه دهيم؛ تعداد حالت هاي ممكن برابر خواهد شد با: 120=5×4×3×2×1 .
و براي 6 دوست خواهيم داشت: 720=6×5×4×3×2×1 .
و به همين ترتيب براي وقتي كه تعداد دوست ها بيش تر باشند. حالا به موضوع 10 نفري كه منتظر غذاي مجاني بودند، بر مي گرديم. اگر بخواهيم تعداد حالت ها را براي 10 دوست پيدا كنيم بايد زحمت ضرب زير را تحمل كنيم:

10×9×8×7×6×5×4×3×2×1 و در اين صورت به همان عددي كه قبلا" گفتيم ،خواهيم رسيد ،يعني : 3628800 .
حالا اگر 5 نفر از افراد حاضر در اين مهماني دختر و 5 نفر پسر باشند و بخواهند طوري پشت ميز، كنار هم بنشينند كه يكي در ميان پسر و دختر باشند، تعداد حالت ها كم تر و محاسبه ي آن كمي مشكل تر مي شود.
فرض كنيد يكي از پسر ها به طور دلخواه، پشت ميز بنشيند، بقيه ي 4 پسر باقي مانده ، در حالي كه جاي دخترها را بين خود خالي نگه مي دارند ،مي توانند به 24=4×3×2×1 حالت مختلف بنشينند و با توجه به اين كه پسر اول به 10 حالت مختلف مي تواند پشت ميز بنشيند، پس تعداد حالت هاي نشستن براي پسرها برابر است با: 240=24×10 .
حال ببينيم دخترها چند جور مي توانند روي صندلي ها بنشينند؟ واضح است كه:

 120=5×4×3×2×1 . به اين ترتيب اگر 240 حالت قرار گرفتن پسر ها را در 120 حالت قرار گرفتن دختر ها ضرب كنيم ، تعداد حالت هاي ممكن به دست خواهد آمد: 28800=120×240 .
اين عدد خيلي كوچك تر از عدد قبلي است ، در اين مورد تقريبا" 79 سال وقت لازم است. اگر مهمان ها هر كدام 100 سال عمر كنند ، مي توانند بعد از آن، يا از خود پيشخدمت يا بازماندگان او نهار مجاني مطالبه كنند.

منبع:كتاب رياضيات زنده