دراین مقاله می خواهیم به محاسبه ي سریع جمعي خاص بپردازیم.فرض کنید مي خواهيم مجموع عددهاي زير را محاسبه كنيم:
1024و512و256و128و64و32و16و8و4و2و1
اگر كمي دقت كنيم,در مي يابيم كه هر عدد از دو برابر كردن عدد قبلي به دست مي آيد. مجموع اين عددها برابر است با: 2047 .
از طرفي:
2047=1-1024×2
پس براي به دست آوردن مجموع فوق كافي است عدد آخر را در 2 ضرب كرده و عدد اول را از حاصل كم كنيم.
اكنون عددهاي زير را در نظر مي گيريم:
3072و1536و768و384و192و96و48و24و12و6و3
باز هم هر عدد از دو برابر كردن عدد قبلي به دست آمده است.مجموع اين عددها برابر است با: 6141 .
از طرفي:
6141=3-3072×2
پس براي به دست آوردن مجموع فوق كافي است عدد آخر را در 2 ضرب كرده و عدد اول را از حاصل كم كنيم.
اما اگر تعداد اين گونه عددها زياد شوند مثلا” اگر از 5 شروع كنيم و با دو برابر كردن اعداد به عدد 10485760 برسيم و بخواهيم مجموع تمام اعدادي كه از اين طريق به دست مي آيند را محاسبه كنيم , مطمئنا” بايد زمان زيادي صرف كنيم. اما طبق همان روش كه در دو مثال قبل به كار رفت ،مي توان عدد آخر را در 2 ضرب كرده و عدد اول را از حاصل كم كنيم ،در نتيجه خواهيم داشت:
20971515=5-2×10485760 = مجموع
اكنون بايد قاعده ي كلي براي محاسبه ي اين گونه مجموع ها را متوجه شده باشيد.
اعداد زير را در نظر بگيريد:
59049و19683و6561و2187و729و243و81و27و9و3و1
با كمي دقت متوجه مي شويم كه هر عدد از 3 برابر كردن عدد قبلي به دست مي آيد.مجموع اين عددها برابر است با : 88573 .
از طرفي:
اكنون اعداد زير را در نظر بگيريد كه هر عدد از 3 برابر كردن عدد قبلي به دست مي آيد:
45927و15309و5103و1701و567و189و63و21و7
1240029و413343و137781و
مجموع اين عددها برابراست با : 1860040 .
از طرفي:
اكنون بايد قاعده ي كلي براي محاسبه ي چنين جمع هايي را متوجه شده باشيد.
تمرين : اگر از 5 شروع كنيم و با 3 برابر كردن عدد ها در نهايت به عدد 17433922005 برسيم . مجموع اين عددها را به دست آوريد.
اعداد زير را در نظر بگيريد :
1048576و262144و65536و16384و4096و1024و256و64و16و4و1
با كمي دقت متوجه مي شويم كه هر عدداز 4 برابر كردن عدد قبلي به دست مي آيد. مجموع اين عددها برابر است با : 1398101 .
از طرفي :
اكنون اعداد زير را در نظر بگيريد كه هر عدد از 4برابركردن عدد قبلي به دست مي آيد.
2359296و589824و147456و36864و9216و2304و576و144و36و9
مجموع اين عددها برابر است با : 3145725 .
از طرفي:
اكنون بايد قاعده ي كلي براي محاسبه ي چنين جمع هايي را متوجه شده باشيد.
تمرين:اگر از 3 شروع كنيم و با 4 برابر كردن عددها در نهايت به عدد 3298534883328 برسيم. مجموع اين اعداد را به دست آوريد.
.jpg)
از اين بحث ها يك روش كلي براي محاسبه ي جمع هايي كه در آن ها هر عدد از ضرب عدد قبلي در مقداري ثابت به دست مي آيد، حاصل مي شود.
مثلا” اگر از 4 شروع كنيم و با 17 برابر كردن عددها در نهايت به عدد 5679428 برسيم مجموع اين عدد ها برابر است با:
