عدد طبیعی دلخواه N و مجموعهی را در نظر بگیرید. اگر B یک زیر مجموعهی دلخواه N عضوی از بوده و عناصرش را به صورت نزولی مرتّب کنیم یعنی که و عناصر مجموعهی را به صورت صعودی مرتّب کنیم یعنی که . آنگاه:
این حکم به اتحاد Proizvolov (ریاضیدان روس) مشهور است.
اثبات: ادّعا میکنیم برای هر i ؛یک عنصر مجموعه ی {, } به و دیگری به تعلّق دارد.
اگر این طور نباشد، یکی از دو حالت زیر اتفاق میافتد:
حالت اوّل: برای i ی داریم: .
چون پس لااقل ۱+N-i عنصر از B کمتر از ۱+N هستند و چون پس لااقل i عنصر از C کمتر از ۱+N هستند. بنابراین لااقل عنصر از ۱+N کم تر هستند که تناقض است.
حالت دوّم: برای i ی داریم: . با استدلالی مشابه حالت اول نتیجه میشود که این حالت نیز نمیتواند اتفاق بیفتد.
به این ترتیب،ادعای فوق ثابت می شود و در نتیجه داریم:
منبع:
http://cut-the-knot.org