معرفی چند رده

یکی از مفاهیم مقدماتی در ریاضیات مفهوم مجموعه است . بارها و بارها از این مفهوم در نوشتارهای ریاضی استفاده کرده ایم , اما چقدر مطمئنیم که از این مفهوم به درستی استفاده می کنیم؟
مثلا” آیا می توانیم از مجموعه های : تمام مجموعه ها , تمام مجموعه های یک عضوی , دو عضوی… n عضوی , تمام زوج های مرتب , تمام رابطه ها یا تمام تابع ها سخن به میان آوریم ؟
قبل از بحث در این باره ابتدا چند مفهوم را معرفی می کنیم :
۱٫ زوج مرتب : زوج مرتب (x,y) عبارت است از مجموعه ی   , x را مولفه اول و y را مولفه دوم گویند.
تمرین : تحقیق کنید که (c ,d) = (a ,b) اگر و تنها اگر a=c, b=d .
۲٫ رابطه : رابطه R عبارت است از: مجموعه ای از زوج های مرتب .
۳٫ تابع : تابع F عبارت است از: رابطه ای که به هر عضو دامنه { مجموعه مولفه های اول} یک و فقط یک عضو برد {مجموعه مولفه های دوم } را نسبت می دهد .
۴٫ اصل اجتماع :برای مجموعه دلخواه A ,مجموعه وجود دارد . مثلا” اگر   باشد آن گاه   .

سوال ۱: آیا مجموعه تمام مجموعه ها وجود دارد؟
اگر C چنین مجموعه ای باشد , مجموعه A را به صورت  تعریف می کنیم , اگر  چون  در نتیجه   که تناقض است.
اگر  چون  در نتیجه  که تناقض است .این موضوع که در فوق دیدیم به پارادوکس راسل مشهور است .پس چنین مجموعه ای نمی تواند وجود داشته باشد ازاین رو باید از رده تمام مجموعه ها سخن گفت .
سوال ۲ : آیا مجموعه تمام مجموعه های یک عضوی وجود دارد ؟
اگر C چنین مجموعه ای باشد و A مجموعه دلخواهی باشد , چون  پس  و این یعنی  برابر مجموعه تمام مجموعه هاست که تناقض است .از این رو باید از رده تمام مجموعه های یک عضوی سخن گفت .
سوال ۳ : آیا مجموعه تمام مجموعه های دو عضوی وجود دارد ؟
اگر C چنین مجموعه ای باشد و A مجموعه دلخواهی باشد , چون  پس  و این یعنی برابر مجموعه تمام مجموعه هاست که تناقض است .ازاین رو باید از رده تمام مجموعه های دو عضوی سخن گفت .
تمرین : نظیر دو سوال قبلی را برای مجموعه های n عضوی بیان کنید و پاسخ دهید .
سوال ۴ : آیا مجموعه تمام زوج ها ی مرتب وجود دارد ؟
اگر C چنین مجموعه ای باشد و A مجموعه دلخواهی باشد ،  بنابر این   و این یعنی   برابر مجموعه تمام مجموعه هاست که تناقض است.ازاین رو باید از رده تمام زوج های مرتب سخن گفت .
سوال ۵ : آیا مجموعه تمام رابطه ها وجود دارد ؟
اگر C چنین مجموعه ای باشد آن گاه  برابر مجموعه تمام زوج های مرتب است که با توجه به بحث فوق , تناقض است . از این رو باید از رده تمام رابطه ها سخن گفت .
سوال ۶ : آیا مجموعه تمام تابع ها وجود دارد ؟
اگر C چنین مجموعه ای باشد آن گاه  برابر مجموعه تمام زوج های مرتب است که با توجه به بحث فوق , تناقض است . ازاین رو باید از رده تمام تابع ها سخن گفت .
تمرین : سعی کنید نمونه های دیگری از چند رده بیابید .