مطمئنا” همه ی شما با مثلث خیام – پاسکال آشنایی دارید و طرز ساخت آن را می دانید.بد نیست یادآور شویم که در ردیف n ام این مثلث ،عنصر k ام از جمع عناصر k ام و ۱-k ام ردیف ۱-n ام به دست می آید(۱<n و ۰<n>k ) .در این جا،چند ردیف از این مثلث را آورده ایم :
لم: در ردیف n ام(…,۳ ,۲ ,۱ ,۰=n) این مثلث،عنصر k ام(nو…و۲و۱و۰=k) به صورت 
است.
برای اثبات این موضوع ،ابتدا توجه می کنیم که برای 
، داریم :
.
اکنون با استفاده از رابطه ی (۱) و به کمک استقرا ، لم اثبات می شود.(جزئیات به عهده ی خواننده).
بنابراین می توان مثلث خیام – پاسکال را به صورت زیر در نظر گرفت:
قضیه:در مثلث خیام – پاسکال از ردیف سوم به بعد ،هیچ دو عنصر مخالف با ۱ در یک ردیف ، نسبت به هم اول نیستند.
ابتدا توجه می کنیم که برای 
داریم : 
مساله: آیا می توانید رابطه ی (۲) را با یک بحث ترکیبیاتی اثبات کنید.
حال نشان می‌دهیم که برای ۰<n>k>m داریم : 
.
فرض کنیم این طور نباشد،یعنی ۱=(
) با توجه به رابطه ی (۲)، 
عاد می‌کند 
را .چون نسبت به هم اول اند. پس طبق لم اقلیدس عاد می‌کند
را، ولی این ممکن نیست چرا که 
.
به این ترتیب ، قضیه اثبات می شود.
