عدد طبیعی دلخواه N و مجموعه‌ی 
را در نظر بگیرید. اگر B یک زیر مجموعه‌ی دلخواه N عضوی از 
بوده و عناصرش را به صورت نزولی مرتّب کنیم یعنی 
که 
و عناصر مجموعه‌ی 
را به صورت صعودی مرتّب کنیم یعنی 
که 
. آن‌گاه:
این حکم به اتحاد Proizvolov (ریاضی‌دان روس) مشهور است.
اثبات: ادّعا می‌کنیم برای هر i 
؛یک عنصر مجموعه ی {
, 
} به 
و دیگری به 
تعلّق دارد.
اگر این طور نباشد، یکی از دو حالت زیر اتفاق می‌افتد:
حالت اوّل: برای i ی داریم: 
.
چون 
پس لااقل ۱+N-i عنصر از B کم‌تر از ۱+N هستند و چون 
پس لااقل i عنصر از C کم‌تر از ۱+N هستند. بنابراین لااقل 
عنصر از ۱+N کم تر هستند که تناقض است.
حالت دوّم: برای i ی داریم: 
. با استدلالی مشابه حالت اول نتیجه می‌شود که این حالت نیز نمی‌تواند اتفاق بیفتد.
به این ترتیب،ادعای فوق ثابت می شود و در نتیجه داریم:
منبع:
http://cut-the-knot.org
