عدد طبيعي دلخواه N و مجموعه‌ي 
را در نظر بگيريد. اگر B يك زير مجموعه‌ي دلخواه N عضوي از 
بوده و عناصرش را به صورت نزولي مرتّب كنيم يعني 
كه 
و عناصر مجموعه‌ي 
را به صورت صعودي مرتّب كنيم يعني 
كه 
. آن‌گاه:
اين حكم به اتحاد Proizvolov (رياضي‌دان روس) مشهور است.
اثبات: ادّعا مي‌كنيم براي هر i 
؛يك عنصر مجموعه ي {
, 
} به 
و ديگري به 
تعلّق دارد.
اگر اين طور نباشد، يكي از دو حالت زير اتفاق مي‌افتد:
حالت اوّل: براي i ي داريم: 
.
چون 
پس لااقل 1+N-i عنصر از B كم‌تر از 1+N هستند و چون 
پس لااقل i عنصر از C كم‌تر از 1+N هستند. بنابراين لااقل 
عنصر از 1+N كم تر هستند كه تناقض است.
حالت دوّم: براي i ي داريم: 
. با استدلالي مشابه حالت اول نتيجه مي‌شود كه اين حالت نيز نمي‌تواند اتفاق بيفتد.
به اين ترتيب،ادعاي فوق ثابت مي شود و در نتيجه داريم:
منبع:
http://cut-the-knot.org
