دراين مقاله يكي از قضاياي جالب هندسه ي مسطحه راباروشي كاملا"نامتعارف اثبات مي كنيم و آن عبارت است از : قضيه ي دايره ي مونژ .
قضيه ي دايره ي مونژ : سه دايره ي دو به دو متخارج با شعاع هاي مختلف درنظر بگيريد . سپس مماس هاي مشترك خارجي هر جفت از اين دايره ها را رسم كنيد .ثابت كنيد كه محل تلاقي اين مماس ها ، بر يك امتدادند .
پيش از اثبات ، نياز به معرفي چند مفهوم فيزيكي داريم !!!
الف ) مركز جرم : تاكنون در بررسي حركت اجسام ، آن ها را به صورت ذرات جرم دار بدون بعد در نظر گرفته ايم .اما آيا توجيهي براي اين كار داريم؟ با معرفي مفهوم " مركز جرم " اين امر توجيه مي شود . براي جسم ، نقطه اي به نام مركز جرم وجود دارد كه حركت آن مانند حركت ذره اي است كه تحت تاثير همان نيروهاي خارجي قرار دارد .
نكته 1 : مركز جرم يك ديسك در صفحه با توزيع يكنواخت جرم ، عبارت است از مركز ديسك . در ادامه ي اين مقاله ديسك ها با توزيع يكنواخت جرم فرض مي شوند.
نكته 2 : براي سيستمي متشكل از دو ديسك به جرم هاي 
با مركز هائي به مختصات 
و 
، مركز جرم را با 
تعريف مي كنيم كه در آن :
و 
. اين تعريف نشان مي دهد كه مركز جرم اين سيستم بر خط واصل مركزهاي دو ديسك واقع است .
نكته 3 : اگر سيستم 
متشكل از 2 ديسك و سيستم
متشكل از 2 ديسك به ترتيب داراي جرم كل
باشند ، آن گاه مركز جرم سيستم
كه از دو سيستم 
و
تشكيل مي شود را با 
تعريف مي كنيم كه در آن :
و
و
و 
مركز جرم هاي و هستند . اين تعريف نشان مي دهد كه مركز جرم
بر خط واصل مركز جرم هاي
و
واقع است .
ب) جرم منفي : وقتي به جسمي نيرو وارد مي كنيم ، طبق رابطه ي برداري:
، انتظار اين است كه جسم در صورت حركت ، در جهت نيروي وارده حركت كند . علت اين انتظار، مثبت بودن كميت جرم در رابطه ي فوق است . در اين جا مي خواهيم شما را با مفهوم جرم منفي آشنا كنيم كه در فيزيك نوين كاربردهائي دارد. گوئيم جسمي داراي جرم منفي است هرگاه با اعمال نيرو بر جسم ، در صورت حركت ، جسم در خلاف جهت نيروي وارده حركت كند ، يعني مثلا" ما جسم را هل مي دهيم و جسم به طرف ما شتاب مي گيرد . !!! جرم منفي را با نماد m-نشان مي دهيم .
اكنون به اثبات قضيه مي پردازيم :
دايره ها را با c,b,a نام گذاري كرده و محل تلاقي مماس هاي خارجي b,a را با C و c,a را با B و c,b را با A نشان مي دهيم .هريك از دايره هاي c,b,a را به عنوان يك ديسك به ترتيب با جرم هاي
كه قدر مطلق اين جرم ها با شعاع ديسك ها نسبت عكس دارند ، در نظر مي گيريم .
حال توجه شما را به لم زير جلب مي كنيم :
لم : دو ديسك در صفحه به شعاع هاي R , r با r<R در نظر بگيريد .
1) اگر دو ديسك داراي جرم مثبت باشند كه جرم ها با شعاع ها نسبت عكس دارند ، آن گاه مركز جرم سيستم متشكل از آن ها بر محل تقاطع مماس هاي مشترك داخلي آن ها واقع است .
2) اگر ديسك به شعاع r داراي جرم منفي و ديسك به شعاع R داراي جرم مثبت باشند به طوري كه قدر مطلق جرم ها با شعاع ها نسبت عكس دارند ، آن گاه مركز جرم سيستم متشكل از آن ها بر محل تقاطع مماس هاي مشترك خارجي آن ها واقع است .
اثبات لم : مبدا محور مختصات را بر O و محور x ها را بر 
در نظر مي گيريم .
1)
اگر 
مركز جرم S (سيستم متشكل از دو ديسك) باشد آن گاه با استفاده از (*) خواهيم داشت :
2) اگر مركز جرم S (سيستم متشكل از دو ديسك) باشد آن گاه با استفاده از (*) خواهيم داشت (در اين حالت نيز برقراراست ) :
اكنون 3 سيستم به صورت زير در نظر مي گيريم :
و
و
.
اگربا استفاده از دو سيستم
و
سيستمي تشكيل دهيم كه جرم هاي :
بر يكديگر واقع شوند ، آن گاه سيستم حاصل عبارت است از :
. پس طبق نكته 3 و قسمت 2) لم فوق ، مركز جرم سيستم كه همانا نقطه ي B مي باشد با مركز جرم هاي و كه همانا A,C هستند ، بر يك امتداد واقع مي شوند . و به اين ترتيب اثبات قضيه به پايان مي رسد .
منابع :
http://cut-the-knot.org
http://wikipedia.org
كتاب درسي فيزيك هاليدي و رزنيك
