دو دوست با هم قرار گذاشتند كه سوار دوچرخه‌‌هايشان با حداكثر سرعت كه مي‌توانند به سمت يكديگر ركاب بزنند و بعد از طي فاصله ي ميانشان كه برابر L است با يكديگر برخورد كنند.
وقتي دو دوست حركت خود را آغاز مي‌كنند، سگ آن‌ها كه دوست‌دار هر دو است، با حداكثر سرعتي كه مي‌تواند از نزد دوچرخه‌سوار اول شروع به دويدن مي‌كند تا به دوچرخه‌سوار ديگر برسد و مجدداً بلافاصله تغيير مسير مي‌دهد و نزد دوچرخه‌سوار اول برمي‌گردد و اين كار را آن قدر تكرار مي‌كند تا دو دوچرخه‌سوار با هم برخورد كنند. به نظر شما اين سگ چه مسافتي را دويده است؟
ريشه‌هاي تاريخي اين مسأله برمي‌گردد به بحثي كه بيش از 50 سال پيش، بين دو رياضي‌دان مشهور به نام هاي استانيسلاو اولام و جان فون نويمان درگرفت و به «مسأله‌اي كه جان فون نويمان را فريفت» مشهور شد،چرا كه اولام تصور كرد كه ايده ي حل اين مساله به وسيله ي سري كه توسط فون نويمان ارائه شد بسيار پيچيده است و فون نويمان متوجه حقه ي حل مساله نشده است.
فرض كنيد كه دو دوچرخه سوار با سرعت يكسان V حركت كنند و هم‌چنين تندي سگ را U در نظر بگيريم و در ضمن فرض كنيد كه سگ مي‌تواند در يك آن، جهت حركت خود را تغيير دهد.
اجازه دهيد قبل از هر بحثي منظورمان از تندي را روشن‌تر بيان كنيم. در اين جا ما از تندي حركت سگ صحبت مي‌كنيم نه از سرعت آن، تندي حركت سگ ثابت است اما هر بار كه با يكي از دوچرخه‌سواران برخورد مي‌كند تغيير مسير مي‌دهد، سرعت او تغيير مي‌كند، سرعت كميتي برداري است كه هم تندي حركت و هم جهت حركت را نشان مي‌دهد. پس هميشه به تفاوت موجود بين تندي و سرعت توجه داشته باشيد!
بررسي مسير رفت و برگشت سگ به يك سري نامتناهي منتهي مي‌شود. امّا اجازه دهيد نگاهي به ابتدا و انتهاي وضعيت بيندازيم.
چه مدت طول خواهد كشيد تا دوچرخه‌سواران با يكديگر برخورد كنند؟ زمان موردنظر به اين قرار است:
.
از آن جا كه سگ با تندي ثابتU مي‌دود،فاصله‌اي كه سگ طي مي‌كند، چنين مي‌شود:
.
خب حالا بياييد استدلال نويمان را در خصوص حركت اين سگ ببينيم، كه درحقيقت به يك سري نامتناهي منتهي مي‌شود:
نمودار زير را كه فاصله‌ي ميان دوچرخه‌سواران و مسافت طي شده توسط سگ را بر حسب زمان نشان مي‌دهد ، ملاحظه كنيد:
مثلث هاي 
و … همه مثلث‌هايي متشابه هستند. نسبت تشابه اين مثلث ها را q مي‌ناميم. هنگامي كه دوچرخه‌سواران به فاصله‌ي L از هم قرار دارند، سگ به زمان 
جهت رسيدن از دوچرخه سوار اول (A) به دوچرخه سوار دوم ( 
) نياز دارد[چرا؟] و مسافت 
را در اين زمان مي دود . طي اين زمان دوچرخه‌سواران به يكديگر نزديك‌تر شده‌اند كه اين ميزان برابر با 
است. بنابراين فاصله ي جديد ميان آن‌ها چنين خواهد بود:
، از اين رو،نسبت تشابه برابر است با:
.
در نتيجه، طول مسافت دويدن بار دوم سگ(از به
) ، برابر با
خواهد بود. [چرا؟] . ما مي‌بايست اين وضعيت را دوباره و دوباره تكرار كنيم. در واقع ما سري نامتناهي براي كل مسافت طي شده توسط سگ را داريم:
مسافت طي شده
از طرفي :
.
پس فاصله‌ي طي شده توسط سگ برابر با
است كه دقيقاً همان چيزي است كه با نگاهي كوتاه به ابتدا و انتهاي مسير در بالا به‌دست آمد.
پس در حقيقت،فون نويمان فريب نخورده بود.
منبع :
100 مساله ومعماي جالب فيزيك و رياضي
ترجمه ي: بهداد بسيجي
