يكي از مفاهيم مقدماتي در رياضيات مفهوم مجموعه است . بارها و بارها از اين مفهوم در نوشتارهاي رياضي استفاده كرده ايم , اما چقدر مطمئنيم كه از اين مفهوم به درستي استفاده مي كنيم؟
مثلا” آيا مي توانيم از مجموعه هاي : تمام مجموعه ها , تمام مجموعه هاي يك عضوي , دو عضوي… n عضوي , تمام زوج هاي مرتب , تمام رابطه ها يا تمام تابع ها سخن به ميان آوريم ؟
قبل از بحث در اين باره ابتدا چند مفهوم را معرفي مي كنيم :
1. زوج مرتب : زوج مرتب (x,y) عبارت است از مجموعه ي 
, x را مولفه اول و y را مولفه دوم گويند.
تمرين : تحقيق كنيد كه (c ,d) = (a ,b) اگر و تنها اگر a=c, b=d .
2. رابطه : رابطه R عبارت است از: مجموعه اي از زوج هاي مرتب .
3. تابع : تابع F عبارت است از: رابطه اي كه به هر عضو دامنه { مجموعه مولفه هاي اول} يك و فقط يك عضو برد {مجموعه مولفه هاي دوم } را نسبت مي دهد .
4. اصل اجتماع :براي مجموعه دلخواه A ,مجموعه 
وجود دارد . مثلا” اگر 
باشد آن گاه 
.
.jpg)
سوال 1: آيا مجموعه تمام مجموعه ها وجود دارد؟
اگر C چنين مجموعه اي باشد , مجموعه A را به صورت 
تعريف مي كنيم , اگر 
چون 
در نتيجه 
كه تناقض است.
اگر چون در نتيجه كه تناقض است .اين موضوع كه در فوق ديديم به پارادوكس راسل مشهور است .پس چنين مجموعه اي نمي تواند وجود داشته باشد ازاين رو بايد از رده تمام مجموعه ها سخن گفت .
سوال 2 : آيا مجموعه تمام مجموعه هاي يك عضوي وجود دارد ؟
اگر C چنين مجموعه اي باشد و A مجموعه دلخواهي باشد , چون 
پس 
و اين يعني 
برابر مجموعه تمام مجموعه هاست كه تناقض است .از اين رو بايد از رده تمام مجموعه هاي يك عضوي سخن گفت .
سوال 3 : آيا مجموعه تمام مجموعه هاي دو عضوي وجود دارد ؟
اگر C چنين مجموعه اي باشد و A مجموعه دلخواهي باشد , چون 
پس و اين يعني برابر مجموعه تمام مجموعه هاست كه تناقض است .ازاين رو بايد از رده تمام مجموعه هاي دو عضوي سخن گفت .
تمرين : نظير دو سوال قبلي را براي مجموعه هاي n عضوي بيان كنيد و پاسخ دهيد .
سوال 4 : آيا مجموعه تمام زوج ها ی مرتب وجود دارد ؟
اگر C چنين مجموعه اي باشد و A مجموعه دلخواهي باشد ، 
بنابر اين 
و اين يعني 
برابر مجموعه تمام مجموعه هاست كه تناقض است.ازاين رو بايد از رده تمام زوج هاي مرتب سخن گفت .
سوال 5 : آيا مجموعه تمام رابطه ها وجود دارد ؟
اگر C چنين مجموعه اي باشد آن گاه برابر مجموعه تمام زوج هاي مرتب است كه با توجه به بحث فوق , تناقض است . از اين رو بايد از رده تمام رابطه ها سخن گفت .
سوال 6 : آيا مجموعه تمام تابع ها وجود دارد ؟
اگر C چنين مجموعه اي باشد آن گاه برابر مجموعه تمام زوج هاي مرتب است كه با توجه به بحث فوق , تناقض است . ازاين رو بايد از رده تمام تابع ها سخن گفت .
تمرين : سعي كنيد نمونه هاي ديگري از چند رده بيابيد .
