مطمئنا” همه ي شما با مثلث خيام – پاسكال آشنايي داريد و طرز ساخت آن را مي دانيد.بد نيست يادآور شويم كه در رديف n ام اين مثلث ،عنصر k ام از جمع عناصر k ام و 1-k ام رديف 1-n ام به دست مي آيد(1<n و 0<n>k ) .در اين جا،چند رديف از اين مثلث را آورده ايم :
لم: در رديف n ام(…,3 ,2 ,1 ,0=n) اين مثلث،عنصر k ام(nو…و2و1و0=k) به صورت 
است.
براي اثبات اين موضوع ،ابتدا توجه مي كنيم كه براي 
، داريم :
.
اكنون با استفاده از رابطه ي (1) و به كمك استقرا ، لم اثبات مي شود.(جزئيات به عهده ي خواننده).
بنابراين مي توان مثلث خيام – پاسكال را به صورت زير در نظر گرفت:
قضيه:در مثلث خيام – پاسكال از رديف سوم به بعد ،هيچ دو عنصر مخالف با 1 در يك رديف ، نسبت به هم اول نيستند.
ابتدا توجه مي كنيم كه براي 
داريم : 
مساله: آيا مي توانيد رابطه ي (2) را با يك بحث تركيبياتي اثبات كنيد.
حال نشان مي‌دهيم كه براي 0<n>k>m داريم : 
.
فرض كنيم اين طور نباشد،يعني 1=(
) با توجه به رابطه ي (2)، 
عاد مي‌كند 
را .چون نسبت به هم اول اند. پس طبق لم اقليدس عاد مي‌كند
را، ولي اين ممكن نيست چرا كه 
.
به اين ترتيب ، قضيه اثبات مي شود.
