تابع درخت کریسمس

یکی از مباحث اساسی در ریاضیات ، بررسی نقطه های پیوستگی وناپیوستگی توابع می باشد. به عنوان مثال مجموعه ی نقطه های ناپیوستگی تابع برای عبارت است از مجموعه ی اعداد صحیح ( Z ) . و یا تابع f که با ضابطه ی زیر تعریف می شود :

در هیچ نقطه ای پیوسته نیست و لذا مجموعه ی نقطه های ناپیوستگی آن ، R است . این تابع به تابع دیریکله مشهور است .
مطلبی که در این مقاله در پی آن هستیم ، معرفی تابعی است که مجموعه ی نقطه های ناپیوستگی و پیوستگی آن به ترتیب :  اعداد گویا و گنگ بازه ی  باشند .

 

تابع f را بر با ضابطه ی در نظر بگیرید . ادعا می کنیم که این ، همان تابع مطلوب است.

اگر عدد گویای دلخواهی در باشد ،عدد حقیقی را طوری می گیریم که باشد . اکنون برای دلخواه ، اگر y عدد گنگ دلخواهی در باشد ، آن گاه اما ، پس این تابع در هیچ نقطه ی گویائی از پیوسته نیست .

با روشی مشابه این تابع در ۰=x ناپیوسته است . پس در تمام نقطه های گویای    ناپیوسته است .

حال اگر x عدد گنگ دلخواهی در و عدد حقیقی دلخواه باشد ، چون مجموعه ی متناهی است [چرا؟]پس برای مجموعه ی m های طبیعی که متناهی است .اکنون قرار می دهیم :

  ،به دلیل گنگ بودن x  داریم : .

حال اگر عدد گویای دلخواهی باشد ، آن گاه  [به تعریف اخیر توجه کنید]. و لذا .

 اگر گنگ باشد آن گاه .

این بحث نشان می دهد که مجموعه ی نقطه های ناپیوستگی و پیوستگی تابع مورد نظر به ترتیب عبارت اند از : اعداد گویا و اعداد گنگ بازه ی  .

اکنون نمودار این تابع را در زیر می آوریم :

به دلیل شباهت نمودار این تابع به شکل درخت کریسمس ، این تابع را تابع درخت کریسمس گویند .

 

دیدگاهتان را بنویسید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *