یکی از مباحث اساسی در ریاضیات ، بررسی نقطه های پیوستگی وناپیوستگی توابع می باشد. به عنوان مثال مجموعه ی نقطه های ناپیوستگی تابع برای عبارت است از مجموعه ی اعداد صحیح ( Z ) . و یا تابع f که با ضابطه ی زیر تعریف می شود :
در هیچ نقطه ای پیوسته نیست و لذا مجموعه ی نقطه های ناپیوستگی آن ، R است . این تابع به تابع دیریکله مشهور است .
مطلبی که در این مقاله در پی آن هستیم ، معرفی تابعی است که مجموعه ی نقطه های ناپیوستگی و پیوستگی آن به ترتیب : اعداد گویا و گنگ بازه ی باشند .
تابع f را بر با ضابطه ی در نظر بگیرید . ادعا می کنیم که این ، همان تابع مطلوب است.
اگر عدد گویای دلخواهی در باشد ،عدد حقیقی را طوری می گیریم که باشد . اکنون برای دلخواه ، اگر y عدد گنگ دلخواهی در باشد ، آن گاه اما ، پس این تابع در هیچ نقطه ی گویائی از پیوسته نیست .
با روشی مشابه این تابع در ۰=x ناپیوسته است . پس در تمام نقطه های گویای ناپیوسته است .
حال اگر x عدد گنگ دلخواهی در و عدد حقیقی دلخواه باشد ، چون مجموعه ی متناهی است [چرا؟]پس برای مجموعه ی m های طبیعی که متناهی است .اکنون قرار می دهیم :
،به دلیل گنگ بودن x داریم : .
حال اگر عدد گویای دلخواهی باشد ، آن گاه [به تعریف اخیر توجه کنید]. و لذا .
اگر گنگ باشد آن گاه .
این بحث نشان می دهد که مجموعه ی نقطه های ناپیوستگی و پیوستگی تابع مورد نظر به ترتیب عبارت اند از : اعداد گویا و اعداد گنگ بازه ی .
اکنون نمودار این تابع را در زیر می آوریم :
به دلیل شباهت نمودار این تابع به شکل درخت کریسمس ، این تابع را تابع درخت کریسمس گویند .