بررسی رفتاری از یک دنباله

سوال:چند تا از توان های ۲ با ۷ شروع می شوند؟

 

دنباله‌ی  را در نظر بگیرید. دنباله‌ی اعدادی که عناصر این دنباله با آن‌ها آغاز می‌شوند را تشکیل دهید.چند جمله‌ی اوّل این دنباله عبارت هستند از :

…,۲,۴,۸,۱,۳,۶,۱,۲,۵

این دنباله را با  نشان می‌دهیم. با کمی دقّت می‌بینیم که ۷ در چند جمله‌ی اوّل این دنباله ظاهر نمی‌شود. شاید در نظر اوّل چنین نتیجه گیری کنیم که ۷ اصلاً در این دنباله ظاهر نمی‌شود امّا اگر کمی حوصله به خرج دهیم، خواهیم دید که اوّلین جایی که ۷ ظاهر می‌شود جمله‌ی چهل و ششم است. چند جمله‌ی بعد از آن که برابر ۷ می‌باشند عبارت هستند از: .
سؤالی که در این جا مطرح می‌شود این است که چند جمله‌ی  برابر ۷ است؟

ادّعا:ثابت می‌کنیم که بی‌نهایت جمله‌ی این دنباله برابر ۷ است.

مقدّمات اثبات ادّعا: با ۷ آغاز می‌شود اگر و تنها اگر عدد طبیعی k موجود باشد که و این معادل است با آن که: یا معادلاً . چون  و پس با ۷ آغاز می‌شود اگر و تنها اگر  .
اکنون توجه شما را به دو لم زیر جلب می‌کنیم:

لم۱: گنگ است.
اثبات:اگر گویا باشد پس اعداد صحیح p و موجودند که  و لذا:

 

که تناقض است، بنابراین  گنگ است.

لم ۲:اگر و a<b و ۰<x عددی گنگ و  باشند آن‌گاه بازه‌ی(a,b)شامل بی‌نهایت عنصر دنباله‌ی است.

اثبات:اوّلاً توجه داریم که عناصر دنباله‌ی متمایز هستند چرا که اگرموجود باشند که  آن‌گاه داریم:

که تناقض است.
اکنون عدد طبیعی n را طوری می‌گیریم که  . ۱+n عدد متمایز  در [۰،۱] هستند پس طبق اصل لانه کبوتری؛ موجودند که: و داریم: (۱)
اگر T دایره‌ی به محیط واحد و گذرا از  باشد، می‌توان تناظری یک به یک بینT و (۰,۱]برقرار کرد.‍[چگونه ؟]پس به جای بازه‌ی(a,b)می‌توان کمان متناظرش را برT در نظر گرفت.این کمان را نیز با (a,b) نشان می‌دهیم. تابع که معرّف دوران به اندازه‌یرادیان در خلاف جهت حرکت عقربه‌های ساعت است را در نظر می‌گیریم. این تابع وارون‌پذیر است و وارون آن عبارت است از: که معرّف دوران به اندازه‌ی رادیان در جهت حرکت عقربه‌های ساعت می‌باشد.
برای (f را n بار ترکیب کرده ایم.)در نظر می‌گیریم.عناصر دنباله‌ی  متمایز هستند چرا که اگر m<n موجود باشند که  و  آن‌گاه  و در نتیجه .اگر g را m بار بر طرفین تساوی اخیر،اثر دهیم آن‌گاه و لذا  و این یعنی عدد طبیعی M موجود است که  بنابراین  که تناقض است.
در این لحظه نشان می‌دهیم که برای n دلخواه، طول کمان برابر (c(nاست.

= طول کمان

پس با توجه به رابطه ی (۱)، طول کمان بین (b(i و (b(i+j برابر  است و این یعنی j دوران متوالی به اندازه‌ی رادیان در خلاف جهت حرکت عقربه‌های ساعت معادل است با دوران به اندازه‌ی  رادیان که جهت دوران اخیر، ممکن است در جهت یا در خلاف جهت حرکت عقربه‌های ساعت باشد،حال دنباله‌ی  را در نظر می‌گیریم.توجه داریم که عناصر این دنباله متمایز هستند. اگر از  شروع کنیم و دوران به اندازه‌ی رادیان را به طور متوالی اعمال کنیم، چون است پس بی‌نهایت عنصر دنباله‌ی فوق در کمان (a,b) واقع می‌شوند و این یعنی بازه ی (a,b) شامل بی‌نهایت عنصر دنباله‌ی  است و به این ترتیب،لم ۲ اثبات می شود.

اگر در لم ۲،  [بنابر لم ۱، گنگ است.]قرار دهیم آن‌گاه برای تعداد نامتناهی و این یعنی بی‌نهایت جمله‌ی دنباله‌ی برابر ۷ است.[به مقدّمات توجه کنید.]

جواب:تعداد نامتناهی از توان های ۲ با ۷ شروع می شوند.