بررسي رفتاري از يك دنباله

سوال:چند تا از توان هاي 2 با 7 شروع مي شوند؟

دنباله‌ي را در نظر بگيريد. دنباله‌ي اعدادي كه عناصر اين دنباله با آن‌ها آغاز مي‌شوند را تشكيل دهيد.چند جمله‌ي اوّل اين دنباله عبارت هستند از :

…,2,4,8,1,3,6,1,2,5

اين دنباله را با نشان مي‌دهيم. با كمي دقّت مي‌بينيم كه 7 در چند جمله‌ي اوّل اين دنباله ظاهر نمي‌شود. شايد در نظر اوّل چنين نتيجه گيري كنيم كه 7 اصلاً در اين دنباله ظاهر نمي‌شود امّا اگر كمي حوصله به خرج دهيم، خواهيم ديد كه اوّلين جايي كه 7 ظاهر مي‌شود جمله‌ي چهل و ششم است. چند جمله‌ي بعد از آن كه برابر 7 مي‌باشند عبارت هستند از: .
سؤالي كه در اين جا مطرح مي‌شود اين است كه چند جمله‌ي برابر 7 است؟

ادّعا:ثابت مي‌كنيم كه بي‌نهايت جمله‌ي اين دنباله برابر 7 است.

مقدّمات اثبات ادّعا: با 7 آغاز مي‌شود اگر و تنها اگر عدد طبيعي k موجود باشد كه و اين معادل است با آن كه: يا معادلاً . چون و پس با 7 آغاز مي‌شود اگر و تنها اگر .
اكنون توجه شما را به دو لم زير جلب مي‌كنيم:

لم1: گنگ است.
اثبات:اگر گويا باشد پس اعداد صحيح p و موجودند كه و لذا:

كه تناقض است، بنابراين گنگ است.

لم 2:اگر و a<b و 0<x عددي گنگ و باشند آن‌گاه بازه‌ي(a,b)شامل بي‌نهايت عنصر دنباله‌ي است.

اثبات:اوّلاً توجه داريم كه عناصر دنباله‌ي متمايز هستند چرا كه اگرموجود باشند كه آن‌گاه داريم:

كه تناقض است.
اكنون عدد طبيعي n را طوري مي‌گيريم كه . 1+n عدد متمايز در [0،1] هستند پس طبق اصل لانه كبوتري؛ موجودند كه: و داريم: (1)
اگر T دايره‌ي به محيط واحد و گذرا از باشد، مي‌توان تناظري يك به يك بينT و (0,1]برقرار كرد.‍[چگونه ؟]پس به جاي بازه‌ي(a,b)مي‌توان كمان متناظرش را برT در نظر گرفت.اين كمان را نيز با (a,b) نشان مي‌دهيم. تابع كه معرّف دوران به اندازه‌يراديان در خلاف جهت حركت عقربه‌هاي ساعت است را در نظر مي‌گيريم. اين تابع وارون‌پذير است و وارون آن عبارت است از: كه معرّف دوران به اندازه‌ي راديان در جهت حركت عقربه‌هاي ساعت مي‌باشد.
براي (f را n بار تركيب كرده ايم.)در نظر مي‌گيريم.عناصر دنباله‌ي متمايز هستند چرا كه اگر m<n موجود باشند كه و آن‌گاه و در نتيجه .اگر g را m بار بر طرفين تساوي اخير،اثر دهيم آن‌گاه و لذا و اين يعني عدد طبيعي M موجود است كه بنابراين كه تناقض است.
در اين لحظه نشان مي‌دهيم كه براي n دلخواه، طول كمان برابر (c(nاست.

= طول كمان

پس با توجه به رابطه ي (1)، طول كمان بين (b(i و (b(i+j برابر است و اين يعني j دوران متوالي به اندازه‌ي راديان در خلاف جهت حركت عقربه‌هاي ساعت معادل است با دوران به اندازه‌ي راديان كه جهت دوران اخير، ممكن است در جهت يا در خلاف جهت حركت عقربه‌هاي ساعت باشد،حال دنباله‌ي را در نظر مي‌گيريم.توجه داريم كه عناصر اين دنباله متمايز هستند. اگر از شروع كنيم و دوران به اندازه‌ي راديان را به طور متوالي اعمال كنيم، چون است پس بي‌نهايت عنصر دنباله‌ي فوق در كمان (a,b) واقع مي‌شوند و اين يعني بازه ي (a,b) شامل بي‌نهايت عنصر دنباله‌ي است و به اين ترتيب،لم 2 اثبات مي شود.