تابع درخت كريسمس

يكي از مباحث اساسي در رياضيات ، بررسي نقطه هاي پيوستگي وناپيوستگي توابع مي باشد. به عنوان مثال مجموعه ي نقطه هاي ناپيوستگي تابع براي عبارت است از مجموعه ي اعداد صحيح ( Z ) . و يا تابع f كه با ضابطه ي زير تعريف مي شود :

در هيچ نقطه اي پيوسته نيست و لذا مجموعه ي نقطه هاي ناپيوستگي آن ، R است . اين تابع به تابع ديريكله مشهور است .
مطلبي كه در اين مقاله در پي آن هستيم ، معرفي تابعي است كه مجموعه ي نقطه هاي ناپيوستگي و پيوستگي آن به ترتيب :  اعداد گويا و گنگ بازه ي  باشند .

تابع f را بر با ضابطه ي در نظر بگيريد . ادعا مي كنيم كه اين ، همان تابع مطلوب است.

اگر عدد گوياي دلخواهي در باشد ،عدد حقيقي را طوري مي گيريم كه باشد . اكنون براي دلخواه ، اگر y عدد گنگ دلخواهي در باشد ، آن گاه اما ، پس اين تابع در هيچ نقطه ي گويائي از پيوسته نيست .

با روشي مشابه اين تابع در 0=x ناپيوسته است . پس در تمام نقطه هاي گوياي    ناپيوسته است .

حال اگر x عدد گنگ دلخواهي در و عدد حقيقي دلخواه باشد ، چون مجموعه ي متناهي است [چرا؟]پس براي مجموعه ي m هاي طبيعي كه متناهي است .اكنون قرار مي دهيم :

  ،به دليل گنگ بودن x  داريم : .

حال اگر عدد گوياي دلخواهي باشد ، آن گاه  [به تعريف اخير توجه كنيد]. و لذا .

 اگر گنگ باشد آن گاه .

اين بحث نشان مي دهد كه مجموعه ي نقطه هاي ناپيوستگي و پيوستگي تابع مورد نظر به ترتيب عبارت اند از : اعداد گويا و اعداد گنگ بازه ي  .

اكنون نمودار اين تابع را در زير مي آوريم :

به دليل شباهت نمودار اين تابع به شكل درخت كريسمس ، اين تابع را تابع درخت كريسمس گويند .