يك شگفتي در دنياي اعداد

مطمئناً همه‌ي شما با اعداد گويا آشنا هستيد و درباره‌ي جبر آن‌ها مطالب زيادي شنيده‌ايد، از جمله اين كه جمع هر عدد گويا با خودش، عددي گويا و يا ضرب هر عدد گويا در خودش، عددي گويا است. امّا تا به حال از خود پرسيده‌ايد كه آيا هر عدد گويا به توان خودش لزوماً عددي گويا مي‌شود؟ يقيناً اگر عدد گوياي صحيح داشته باشيم اين حكم درست است امّا اگر عدد گوياي ما غير صحيح باشد چه طور؟ براي اين منظور حكم شگفت انگيز زير را دنبال كنيد:

حكم: اگر X عدد گوياي غير صحيحي باشد آن‌گاه گنگ است.
اثبات: همان‌طور كه مي‌دانيم هر عدد گويا را مي‌توان به شكل نوشت كه در آن p و q اعداد صحيح و هستند. چون X عدد گوياي غير صحيح است، مي‌توان آن را به صورت نوشت كه در آنa و bاعداد صحيح و 1=(a,b) و 1<b . اگر گويا باشد، پس كه در آن d,c اعدادي صحيح و 1=(c,d) .

حالت الف) 1<d :[يعني عدد گوياي غير صحيحي باشد.]

چون 1<b است پس مي‌توان آن را به صورت نوشت كه در آن 1<p عدداوّل و هستند.چون 1=(a,b) پس و در نتيجه 1=(p,a) و لذا . با توجه به(*) چون پس (1).

چون1<d است، [تجزيه به عوامل اوّل]و در نتيجه و با توجه به (1)، موجود است كه .چون 1=(c,d) پس .توان p در تجزيه ي اعداد به عوامل اوّل به ترتيب عبارت هستند از: . پس توان p در تجزيه ي اعداد به عوامل اوّل به ترتيب عبارت هستند از: . با توجه به(*) و اين كه تجزيه به عوامل اوّل يكتاست، نتيجه مي‌شود كه: بنابراين:

از طرفي با توجه به اين كه نتيجه مي‌شود كه . از دو رابطه ي اخير نتيجه مي‌شود: . (2)
اكنون توجه شما را به لم زير جلب مي‌كنيم:
لم: اگر p عددي اوّل و دلخواه باشد آن‌گاه .
اثبات لم: با استقراء‌ بر m . [جزئيات به عهده‌ي خواننده].