يك شگفتي در دنياي اعداد

مطمئناً همه‌ی شما با اعداد گویا آشنا هستید و درباره‌ی جبر آن‌ها مطالب زیادی شنیده‌اید، از جمله این که جمع هر عدد گویا با خودش، عددی گویا و یا ضرب هر عدد گویا در خودش، عددی گویا است. امّا تا به حال از خود پرسیده‌اید که آیا هر عدد گویا به توان خودش لزوماً عددی گویا می‌شود؟ یقیناً اگر عدد گویای صحیح داشته باشیم این حکم درست است امّا اگر عدد گویای ما غیر صحیح باشد چه طور؟ برای این منظور حکم شگفت انگیز زیر را دنبال کنید:

حکم: اگر X عدد گویای غیر صحیحی باشد آن‌گاه گنگ است.
اثبات: همان‌طور که می‌دانیم هر عدد گویا را می‌توان به شکل نوشت که در آن p و q اعداد صحیح و هستند. چون X عدد گویای غیر صحیح است، می‌توان آن را به صورت نوشت که در آنa و bاعداد صحیح و ۱=(a,b) و 1<b . اگر گویا باشد، پس که در آن d,c اعدادی صحیح و 1=(c,d) .

حالت الف) ۱<d :[یعنی عدد گویای غیر صحیحی باشد.]

چون ۱<b است پس می‌توان آن را به صورت نوشت که در آن ۱<p عدداوّل و هستند.چون ۱=(a,b) پس و در نتیجه ۱=(p,a) و لذا . با توجه به(*) چون پس (۱).

چون۱<d است، [تجزیه به عوامل اوّل]و در نتیجه و با توجه به (۱)، موجود است که .چون ۱=(c,d) پس .توان p در تجزیه ی اعداد به عوامل اوّل به ترتیب عبارت هستند از: . پس توان p در تجزیه ی اعداد به عوامل اوّل به ترتیب عبارت هستند از: . با توجه به(*) و این که تجزیه به عوامل اوّل یکتاست، نتیجه می‌شود که: بنابراین:

از طرفی با توجه به این که نتیجه می‌شود که . از دو رابطه ی اخیر نتیجه می‌شود: . (۲)
اکنون توجه شما را به لم زیر جلب می‌کنیم:
لم: اگر p عددی اوّل و دلخواه باشد آن‌گاه .
اثبات لم: با استقراء‌ بر m . [جزئیات به عهده‌ی خواننده].