اعداد روندا(Rhonda)

تعریف:عدد طبیعی n یک عدد روندا در مبنای B (عدد طبیعی) نامیده می‌شود اگر حاصل‌ضرب ارقام n در مبنای Bمساوی B برابر مجموع عوامل اول n باشد.نتیجه ی فوری از تعریف این است که اگر n در مبنای B روندا باشد،تمامی ارقام n در مبنای B غیر صفرند.

مثال: ۲۵۶۶۲ یک عدد روندا در مبنای ۱۰ است،نمایش آن به صورت حاصل ضرب عوامل اول چنین است:

۴۷ × ۱۳ × ۷ × ۳ × ۲ = ۲۵۶۶۲

و هم چنین داریم:

(۴۷+۱۳+۷+۳+۲)×۱۰ = ۲×۶×۶×۵×۲٫

چند عدد روندای دیگر در مبنای ۱۰ عبارت هستند از:

۵۸۲۴ و ۵۶۶۴ و ۵۴۳۹ و ۵۲۶۵ و ۴۷۵۲ و ۲۸۳۵ و ۱۵۶۸

نکته:برای مبناهایی که عدد اول هستند،عدد روندایی وجود ندارد،چرا که برای عدد اول دلخواه p،p هیچ حاصل ضربی از اعداد طبیعی کوچک تر از خود را عاد نمی کند.

در جدول زیر چند عدد روندا در مبناهای ذکر شده را آورده ایم:

عدد ۵۶۰ کوچک ترین عدد روندا است که در مبنای ۱۲ روندا می‌باشد(توجه کنید که ارقام ۵۶۰ در مبنای ۱۲ عبارت هستند از:۸و۱۰و۳)؛اعدادی طبیعی وجود دارند که برای بیش از یک مبنا،روندا هستند. مثلاً عدد ۱۰۰۰ کوچک ترین این اعداد است که برای مبناهای ۱۶ و ۳۶ روندا است.

تعریف:برای عدد طبیعی n،نمایش‌ دهنده‌ی مجموع عوامل اول n می‌باشد.
قضیه:تعداد نامتناهی عدد روندا وجود دارد.
اثبات:برای هر عدد طبیعی ۵<m، یک عدد روندا در مبنای می باشد که در آن،عدد طبیعی k ریشه ی معادله ی زیر است:

توجه کنید که چون برای هر n، (چرا؟)پس برای هر ۵<m،طرف راست معادله ی فوق مثبت بوده(مجموع سه جمله ی شامل Sopf در طرف راست معادله ،حداکثر برابر ۳+۶m بوده که با تعیین علامت،برای هر ۵<m،طرف راست معادله ی فوق مثبت خواهد بود.)و در نتیجه،معادله ی فوق همواره ریشه دارد.

مثال:

اگر در روابط فوق، ۶=m قرار دهیم آن گاه از:

۴= ۱۳×۲-۷-۵-۷×۶ =

داریم: ۴=k و لذا یک عــدد رونــدا در مبنای می‌باشد.

نمایش N در مبنای B به صورت زیر است:

حاصل ضرب ارقام N در مبنای B برابر است با:.(۱)
از طرفی با توجه به تعریف N:

بنابراین B برابر مجموع عوامل اول N مساوی است با و با توجه به (۱) مساوی با حاصل ضرب ارقام N در مبنای B می‌باشد.و این یعنی N یک عدد روندا در مبنای B است.

این بحث نشان می دهد که اعداد روندا نامتناهی هستند.

منابع:

www.mathworld.wolfram.com

www.mathpages.com

پاسخ دهید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *