اگر مبحث سری ها را مطالعه کرده باشیم ، می دانیم اولین موضوعی که بلافاصله مطرح می شود مساله ی همگرائی وواگرائی سری ها است .
یکی از مشهورترین سری های واگرا سری
می باشد که به سری همساز معروف است .
سوال : اگر به جای n ها اعداد اول
را قرار دهیم ، رفتار سری
چگونه است؟
اولین بار اویلر در سال ۱۷۳۷ ثابت کرد که این سری واگرا می باشد .
در این جا اثباتی از این موضوع که از آن کلارکسون (Clarkson) است را می آوریم .
پیش از اثبات ،یکی از آزمون های مشهور همگرائی سری ها که به آزمون انتگرال معروف است را می آوریم :
آزمون انتگرال : اگر تابع 
نزولی و
باشد آن گاه 
همگرا است اگر
متناهی باشد و واگرا است اگر 
باشد .
اکنون به اثبات واگرائی سری می پردازیم :
اگر این سری همگرا باشد پس عددی طبیعی چون k موجود است که
.
فرض کنید
. برای عدد طبیعی دلخواه n،عدد ۱+nQ را در نظر بگیرید . این عدد برهیچ یک ازاعداد 
بخش پذیر نیست .[چرا؟] بنابراین همه ی عامل های اول ۱+nQ در میان اعداد اول 
قرار دارند . بنابراین به ازای هر 
داریم :
[ چرا؟]
اما طرف راست این نامساوی تحت تسلط سری هندسی همگرای
می باشد . پس سری
دارای مجموع های جزئی کراندار بوده ولذا همگرا است .[چرا؟]
اما :
واین یعنی طبق آزمون انتگرال ، سری واگرا است واین با موضوع فوق در تناقض است .
بنابراین سری واگرا می باشد .
منبع :کتاب نظریه تحلیلی اعداد ، نوشته تام .م.آپوستل
